Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken

03.03.2006, 22:19

muffy

Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken

Hallo,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe, in der ich Unstetigkeitsstellen beseitigen soll:

Aufgabe:

Gegeben sind die reelen Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{8x-16}{x^{2}+a} ; x,a \in R \end{eqnarray*}$

Für welche a hat f keine Unstetigkeitsstelle (Begründung)?
Berechnen Sie den Parameter a so, dass der Graph von f(x) eine Lücke hat.

Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet. smile

03.03.2006, 22:21

Mathespezialschüler

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Wie habt ihr Unstetigkeitsstelle definiert? MMn kannst du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nur so wählen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dort nicht definiert ist. Das ist aber keine Unstetigkeitsstelle, zumindest kenne ich es nicht so.

Gruß MSS

03.03.2006, 22:33

as_string

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken
f(x) ist stetig, wenn Du a so wählst, dass der Nenner nie null wird. Weißt Du, wie man dann a wählen muß?

Ein Lücke gibt es dann, wenn der Nenner an einer Stelle zwar null wird, die Funktion aber stetig an dieser Stelle fortgesetzt werden kann. Das ist dann möglich, wenn der Zähler an dieser Stelle auch gleichzeitig null wird. Da der Zähler Deiner Funktion bei x=2 eine Nullstelle hat, mußt Du sehen was passiert, wenn der Nenner dort auch eine Nullstelle hat. Also a so wählen, dass die Funktion im Nenner bei x=2 null wird.

Gruß
Marco

03.03.2006, 22:39

muffy

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wie habt ihr Unstetigkeitsstelle definiert? MMn kannst du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nur so wählen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dort nicht definiert ist. Das ist aber keine Unstetigkeitsstelle, zumindest kenne ich es nicht so.

Gruß MSS

Unstetigkeitsstellen sind Stellen, an denen eine Funktion nicht stetig ist - also z.B. eine Definitionslücke, endliche bzw. unendliche Sprünge oder isolierte Punkte besitzt...

Im Normalfall behebt man ja solch eine Unstetigkeit, indem man für die Unstetigkeitsstelle bzw. das Intervall, indem die Funktion nicht stetig ist, eine zweite Funktion definiert, sodass eine abschnittsweise definierte Funktion entsteht, die dann im gesamten Definitonsbereich stetig ist.

Leider funktioniert hier aber die Herangehensweise nicht.

03.03.2006, 22:46

muffy

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken

Zitat:

Original von as_string
f(x) ist stetig, wenn Du a so wählst, dass der Nenner nie null wird. Weißt Du, wie man dann a wählen muß?

Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} a\in R \end{eqnarray*}$ außer $\begin{eqnarray*} \{0,-(x^{2})\} \end{eqnarray*}$ , oder?

Zitat:

Original von as_string
Ein Lücke gibt es dann, wenn der Nenner an einer Stelle zwar null wird, die Funktion aber stetig an dieser Stelle fortgesetzt werden kann. Das ist dann möglich, wenn der Zähler an dieser Stelle auch gleichzeitig null wird. Da der Zähler Deiner Funktion bei x=2 eine Nullstelle hat, mußt Du sehen was passiert, wenn der Nenner dort auch eine Nullstelle hat. Also a so wählen, dass die Funktion im Nenner bei x=2 null wird.

Gruß
Marco

Danke für deine Erläuterung!

03.03.2006, 22:50

as_string

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken

Zitat:

Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} a\in R \end{eqnarray*}$ außer $\begin{eqnarray*} \{ 0\} \end{eqnarray*}$ , oder?

Schon ein guter Anfang... aber: Was passiert, wenn Du z. B. a=-3 einsetzt? Das ist ja auch in IR ohne {0}, aber Du hast trotzdem zwei Nullstellen im Nenner. Also ist Deine Bedingung bis jetzt noch etwas zu "optimistisch", aber die Richtung stimmt schon mal. Wink

Gruß
Marco

03.03.2006, 22:54

muffy

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken

Zitat:

Original von as_string

Zitat:

Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} a\in R \end{eqnarray*}$ außer $\begin{eqnarray*} \{ 0\} \end{eqnarray*}$ , oder?

Gruß
Marco

Sorry, ich hatte meinen vorherigen Beitrag noch mal editiert und komme nun auf $\begin{eqnarray*} a\in R \end{eqnarray*}$ außer $\begin{eqnarray*} \{0,-(x^{2})\} \end{eqnarray*}$ . Damit sollte der Nenner nie Null werden, oder?

03.03.2006, 22:57

as_string

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken
Das mit dem -x^2 ist schon mal der richtige Gedanke, aber x kann ja alle möglichen Werte annehmen... Wie mußt Du also a einschränken, damit der Nenner trotzdem für jedes x nie null werden kann?

Ich weiß, ist ein doofes Ratespiel jetzt. Ich will Dir aber nicht einfach direkt sagen, was ich meine, sonst macht's doch irgendwie auch keinen Spaß, oder? Big Laugh

Gruß
Marco

03.03.2006, 23:10

muffy

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken

Zitat:

Original von as_string
Das mit dem -x^2 ist schon mal der richtige Gedanke, aber x kann ja alle möglichen Werte annehmen... Wie mußt Du also a einschränken, damit der Nenner trotzdem für jedes x nie null werden kann?

Ich weiß, ist ein doofes Ratespiel jetzt. Ich will Dir aber nicht einfach direkt sagen, was ich meine, sonst macht's doch irgendwie auch keinen Spaß, oder? Big Laugh

Gruß
Marco

Da hast du absolut Recht - so merk ich mir's wenigstens. Augenzwinkern

Es ist nur so, dass ich leider gerade auf dem Schlauch stehe und nicht drauf komme.

Ich glaube, die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein kann, ist falsch, oder?

Es muss ja nur gelten:

$\begin{eqnarray*} 0\neq x^{2}+a \end{eqnarray*}$

Und wenn ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ alles einsetzen kann, dann darf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nur nie den negierten Wert von $\begin{eqnarray*} (x^{2}) \end{eqnarray*}$ annehmen...

03.03.2006, 23:22

as_string

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken
Ja, Du stehst wirklich auf dem Schlauch... Zunge

Genau, also mal überlegen... x kann also alle Werte annehmen, aber für a kannst Du nur einen festen Wert einsetzen. Wenn Du Dich für einen Wert für a entschieden hast, der für alle x die Bedingung erfüllt, dass
$\begin{eqnarray*} x^2 + a \end{eqnarray*}$
nie null wird, dann hast Du einen gültigen gefunden. Aus welcher Menge kannst Du jetzt ein a auswählen, so dass für alle x immer der Nenner ungleich Null ist?
Mal ein paar Werte ausprobieren: Fangen wir mit -9 an: Hubs, wenn ich jetzt aber 3 oder -3 für x einsetze bekommen ich 3² - 9 = 9 - 9 =0 . Das ist also keine erlaubte Zahl für a.
Jetzt mal mit -4 probieren... Da kann ich aber -2 oder auch +2 für x einsetzen und der Nenner wird wieder Null verwirrt

Dann mal mit -2 probieren... hier gibt $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2}\text{ oder }x=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ schon wieder Null für den Nenner.
Was ist jetzt aber, wenn man z. B: 1 für a nimmt? Aha, da kann ich nicht mehr den Nenner auf Null bekommen! Der kleinste Wert, der x² annehmen kann ist ja 0, nämlich genau dann, wenn ich auch x=0 einsetze. Dann ist der kleinste Wert für x²+1 also eine 1, so dass ich nie die Null erreichen kann, egal was ich für x einsetze!
Was ist also die Menge der Zahlen für a, die genau das erfüllen?

Gruß
Marco

03.03.2006, 23:33

muffy

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken
Okaaaaayyyy, ich glaube mir geht ein Licht auf. smile

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ sein und $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

03.03.2006, 23:36

as_string

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken
Ansage

Sehr gut!

Hast Du Dir schon für das andere Problem was überlegt, mit der Lücke?

Gruß
Marco

03.03.2006, 23:51

muffy

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RE: Behebung Unstetigkeit / Berechnung von Lücken

Zitat:

Original von as_string
Hast Du Dir schon für das andere Problem was überlegt, mit der Lücke?

Also, wenn wir mal die gebrochen rationale Funktion mit $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ bezeichnen, dann müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 0 = 8x-16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(2)= 0 = 2^{2}+ a \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Ich habe noch eine Frage zu der Herangehensweise. Warum wird denn eine gebrochen rationale Funktion stetig fortgesetzt, wenn Zähler und Nenner Null sind? Die Funktion müsste doch an dieser Stelle dann keine Lücke, sondern einen unendlichen Sprung haben, oder?

04.03.2006, 00:08

as_string

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Ja, das ist schon mal richtig. Sehr schön!
Das ist so eine Sache... Wirklich gute Frage! So weit ich weiß (ich bin leider kein Mathematiker, deshalb kann ich Dir das auch nicht wirklich genau sagen traurig

) ist das auch nicht immer so. Man kann nicht einfach sagen: Wenn Zähler und Nenner an einer Stelle Null werden, kann man die Funktion stetig fortsetzen, hat man also nur eine Lücke. Umgekehrt stimmt es aber schon: Wenn der Nenner an einer Stelle Null wird, dann kann es nur dann eine stetige Fortsetzung geben, wenn auch der Zähler an dieser Stelle Null ist.
Es gibt da eine Regel von l'Hospital (h und s werden nicht ausgesprochen...). Aber Ableitungen hattet Ihr wahrscheinlich noch nicht, so dass das hier auch keinen weiteren Sinn macht. Ehrlich gesagt, weiß ich nicht mehr genau, welche Kriterien da erfüllt sein müssen...
Aber das ist auch hier das Problem. Wenn Du die a=-4 gefunden hast, dann mußt Du eigentlich noch zeigen, dass es tatsächlich eine stetige Fortsetzung an der Stelle x=2 gibt. Das könnte man in diesem Fall so machen:
$\begin{eqnarray*} \frac{8x-16}{x^2-4} = 8\frac{x-2}{\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)} = \frac{8}{x+2} \end{eqnarray*}$
Da siehst Du dann, dass Du keine Nullstellt mehr im Nenner bei x=2 hast, sondern nur noch eine bei x=-2, die wir aber leider nicht ausbügeln können. Damit hast Du dann eine Funktion gefunden, die genau der Ursprünglichen entspricht, die aber bei x=2 keine Lücke hat, sondern eben die stetige Fortsetzung.
Das müßte sich aber mal ein richtiger Mathematiker anschauen... Ich bin da etwas überfragt, leider...

Gruß
Marco

04.03.2006, 00:27

muffy

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Danke dir für deinen Versuch der Erläuterung! Das mit der neu erstellten Funktion ergibt Sinn. Nur wäre ich da niemals von selbst auf den Ansatz für die Funktion

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{x+2} \end{eqnarray*}$

gekommen. Augenzwinkern

Das mit der Regel von l'Hospital hab ich ehrlich gesagt nicht verstanden. Wir stehen beim Thema Ableitungen noch am Anfang. Wir haben bisher nur den Grenzwert des Differenzialquotienten von ganz rationalen Funktionen betrachtet.

04.03.2006, 00:38

as_string

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Die Regel ist ganz praktisch! Wenn Du z. B. wissen willst, welchen Funktionswert Deine Funktion hätte, wenn es eine stetige Fortsetzung gibt, dann kannst Du einfach die Ableitung in Zähler und Nenner bilden und schwubs... Die Ableitung von 8x-16 ist einfach 8 und die von x²-4 ist einfach 2x. Wenn Du jetzt 2 einsetzt bekommst Du 8/(2*2) = 2 raus. Wenn Du in unsere neue Funktion x=2 einsetzt sollte da das selbe rauskommen. Aber das ist eben der Trick! Man kann eben diese stetige Fortsetzung schon mit dieser Regel finden, ohne erst kompliziert eine Funktion gefunden zu haben, die zwar der ursprünglichen Funktion entspricht, aber eben keine Lücke an der Stelle hat. Bei noch komplizierteren Funktionen ist es nämlich nicht mehr so einfach, das ganze um zu formen und dann eine äquivalente Funktion nur ohne Lücke zu finden...
Ja, da mußt Du mal suche, wie Ihr das im Unterricht gemacht habt, wie man feststellen kann, ob es nur eine Lücke ist oder ob es wirklich eine Polstelle ist... Ich muß jetzt unbedingt schlafen gehen! Schläfer

Ich muß nämlich morgen früh um 8 Uhr schon wieder aufstehen... 6 Stunden sind nicht so wahnsinnig lange...
Also dann... gute Nacht!

Gruß
Marco

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