Lineare Abbildung

04.03.2006, 11:29

Swany

Lineare Abbildung

Also ich hab mir jetzt schon so einige Beiträge in Bezug meines Themas durchgelesen, aber irgendwie komm ich damit auch nicht weiter unglücklich

Mein Problem ist, dass ich 3 Vektoren gegeben habe,aber ich folgende aussage nicht beweisen kann:

$\begin{eqnarray*} {\mathbb R^3 \to \mathbb R^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {x \to (x \times v^1) \times x} \end{eqnarray*}$

Was ist in diesem Fall denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Wie kann ich anhand meiner Vektoren beweisen, dass diese Abbildung linear ist?

Des weiteren habe ich noch eine Gleichung, in der auch dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ drin ist:

$\begin{eqnarray*} x^Tv^1 = x^T v^2 + 1 \end{eqnarray*}$ hier kann ich genauso wenig mit dem x was anfangen. Denn ich habe ja gar kein x gegeben verwirrt

Die einzige Idee die mir bleibt ist, dass ich das x bestimmen muss, aber wie? ich habe ja nur drei Vektoren gegeben...

mfg swany

04.03.2006, 11:42

phi

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moin,

$\begin{eqnarray*} {\mathbb R^3 \to \mathbb R^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {x \to (x \times v^1) \times x} \end{eqnarray*}$

ist keine Aussage, sondern eine Abbildung , also eine Funktionsvorschrift!

Somit ist x einfach nur eine unabhängige Variable, für die du irgend einen beliebige Vektor einsetzen kannst. Und für v1, v2, v3 deine gegebenen Vektoren.

Um zu beweisen dass die Abbildung linear ist schreibe die Definition einer lin. Abb. erstmal hin. (additiv, ....)

und schaue ob deine Abb. diese Definition erfüllt. (mit Kreuz ist nehm ich an Kreuzprodukt gemeint ? )

mfg, phi

Edit: Verbesserung

04.03.2006, 11:53

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Variable der Abbildung. Nennen wir diese einmal $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , so könntest du auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \left( x \times v^1 \right) \times x \end{eqnarray*}$

Und du sollst nun zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \varphi(x+x') = \varphi(x) + \varphi(x') \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda x) = \lambda \varphi(x) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} x,x' \in \mathbb{R}^3, \, \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gelten.

Allerdings glaube ich nicht, daß diese Abbildung linear ist, jedenfalls nicht bei beliebigem $\begin{eqnarray*} v^1 \end{eqnarray*}$ .

EDIT
Diese Abbildung ist außer im trivialen Fall, daß $\begin{eqnarray*} v^1 \end{eqnarray*}$ der Nullvektor ist, niemals linear.
Vielleicht sollst du auch gar nicht zeigen, daß sie linear ist, sondern überprüfen, ob sie linear ist. Wie lautet die genaue Aufgabenstellung?

04.03.2006, 12:34

Swany

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Zitat:

Original von Leopold
wie lautet die genaue Aufgabenstellung?

$\begin{eqnarray*} v^1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v^2:= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v^3:=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bewerten sie die Aussagen:

1) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} {x\to (x\times v^1) \times x } \end{eqnarray*}$ ist linear

2) Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^T v^1 = x^T v^2 + 1 \end{eqnarray*}$ beschreibt eine Ebene im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Phi
Somit ist x einfach nur eine unabhängige Variable, für die du irgend einen beliebige Vektor einsetzen kannst.

Also rechne ich z.B.
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

danke für eure Hilfe

04.03.2006, 12:43

Leopold

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1) ist dann eben so zu bewerten: Die Abbildung ist nicht linear.
Nimm zwei konkrete Vektoren $\begin{eqnarray*} x,x' \end{eqnarray*}$ und berechne $\begin{eqnarray*} \varphi(x), \varphi(x'), \varphi(x+x') \end{eqnarray*}$ . Wenn dann die Summe der ersten beiden nicht gleich dem letzten ist, ist die Linearität bereits widerlegt. Mache es dir so einfach wie möglich. Und wenn es nicht gleich klappt, so verkompliziere $\begin{eqnarray*} x,x' \end{eqnarray*}$ ein bißchen, bis der Widerspruch da ist.

Bei 2) bringe alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf eine Seite und klammere $\begin{eqnarray*} x^T \end{eqnarray*}$ aus.

EDIT
Zu deinem Nachtrag: Beachte die Reihenfolge beim Multiplizieren! Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ! Beim Vertauschen der Faktoren ändert sich das Vorzeichen.

04.03.2006, 13:05

Swany

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Deinen Nachtrag versteh ich jetzt nicht so ganz. Ich rechne hier doch mit dem Kreuzprodukt...

also wenn ich jetzt

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ausrechen, dann erhalte ich das Ergebnis
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und da dieses Ergebnis nicht meinem eingesetzten x entspricht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist die Abbildung nicht linear. Hab ich das jetzt richtig, oder noch immer falsch verstanden :-)

04.03.2006, 13:21

phi

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Vektorprodukt und Kreuzprodukt sind zwei Namen für die gleiche Sache.

Es ging nur darum die Reihenfolge zu beachten, weil A x B=-B x A gilt.

Du hast es falsch verstanden. Deine Abbildung mit Kreuzprodukt ist $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ .

Es geht darum zwei verschiedene x in die Abb. einzusetzen, also einmal x und einmal x' mit $\begin{eqnarray*} x'\neq x \end{eqnarray*}$ .

Und dann zu schauen ob bei $\begin{eqnarray*} \varphi(x)+ \varphi(x') \end{eqnarray*}$

dasselbe rauskommt wie bei

$\begin{eqnarray*} \varphi(x+x') \end{eqnarray*}$ .

Wenn nicht, ist die Abbildung nicht additv, also auch nicht linear.

mfg, phi

04.03.2006, 16:38

Sabschy

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also, ich klinke mich hier mal eben ein... habe das problem zwar nciht, aber es interessiert mich ja grad mal

ich weiß ja nicht, ob ich so doch bin, aber anscheind....

(ich verwende einfach den buchstaben T, finde so spontan diese komische zeichen nciht Augenzwinkern

)

aber, wenn ich T(x+y) oder meinetwegen auch (x+x') rechne... ist es nciht das gleiche wie T(x) + T(y) oder auch T(x) + T(x')???

ob ich das nun auklammer oder nicht... da kann doch gar ncihts anderes bei raus kommen *am kopf kratz*

wenn ich danach gehe, wäre es doch immer linear... unabhängig der realität... glaube hab grad derbes brett form kopf (bitte nciht zu laut auslachen Augenzwinkern

)

kann mal jmd ein beispiel geben mit Zahlen? würde vllt helfen.

THX im Vorraus

Greetz Sabschy

04.03.2006, 17:10

phi

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Ist nur bei linearen Abb. dasselbe! Deswegen werden sie dadurch (Additivität) definiert.

Sei z.B. die folgende Abbildung f gegeben:

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix}x+1 \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und zwei Vektoren
$\begin{eqnarray*} x_1:= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2:= \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist einerseits (achte vor allem auf die erste Komponente):

$\begin{eqnarray*} f(x_1+x_2 ):= \begin{pmatrix}2+5+1 \\ 3+1 \\ 4+7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber andererseits:

$\begin{eqnarray*} f(x_1)+f(x_2 ):= \begin{pmatrix}2+1 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5+1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die +1 wird im ersten Fall also nur einmal, im zweiten aber zweimal gezählt.

Und bei einer Abbildung die Potenzen oder sonstwas enthält, wie z.B.

$\begin{eqnarray*} g\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix}x^2 \\ y \\ cos(z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kommen Kurven, also nichtlineare Sachen bei raus, bei denen (fast) nie f(x)+f(y)= f(x+y) ist.

mfg, phi

04.03.2006, 17:18

Sabschy

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ok, gecheckt!

allerding ncoh eine kleinigkeit:

wie komme ich dazu +1 zu rechnen??

nach dem motto, es ist einfach so, oder gibt es adafür eine begründung?

spontan würde ich sagen, eine belibiege variabel? künnte auch +2 nehmen? solange ich es bei beiden mache?

EDIT: ach, ich gleube es hat pling gemacht... abbleitung? Augenzwinkern

EDIT2: ne doch nciht... was denke ich denn da??? oh mein gott...

04.03.2006, 17:34

Swany

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@ sabschy
ich glaube das war nur ein beispiel, um zu verdeutlichen wodurch der Unterschied entstehen kann.

Also soweit hab ich das ja auch alles verstanden, aber ich kann diese Formel nich auf meine Aufgabe anwenden.

Ihr meintet ja, dass ich zwei unabhängig Vektoren wählen soll. Das habe ich dann auch gemacht

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}und x'=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich diese beiden nach eurer Formel ausrechen, sprich

$\begin{eqnarray*} T(x+x') = T(x) + T(x') \end{eqnarray*}$

dann hat das ja gar nichts mit meiner Aufgabe zu tun... denn ich habe mir ja irgendwelche Vektoren nur ausgedacht...

Ich komme mir grad ziemlich doof vor, aber ich weiß noch immer nicht, wie ich das ganze auf meine Aufgabe anwenden soll:

$\begin{eqnarray*} {x \to (x \times v^1) \times x} \end{eqnarray*}$

ich hab ein dicke blockade traurig

04.03.2006, 19:19

phi

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@ sabschy : Dass +1 gehört doch zur Abbildung f, genauso wie es bei linearen, skalaren Funktionen z.B. h(x)=mx + b ein "b" geben kann. Natrülich kann es ebenso bei einer (nichtlinearen) Vektor-Funktion statt +1 ein beliebiges +b stehen.

Zitat:

Original von phi

Sei z.B. die folgende Abbildung f gegeben:

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix}x+1 \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

@Swany :
Deine Aufgabe lautet doch zu zeigen dass diese Abbildung nicht linear ist. und das tust du indem du ein Gegenbeispiel mit zwei Vektoren zeigst bei dem die oben ausführlich erklärte Eigenschaft der Additivität nicht gegeben ist.

mfg

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