Stationäre Verteilung

04.03.2006, 16:13

Unwissender2000

Stationäre Verteilung

Hallo,
wie bestimmt man die staionäre Verteilung?
Ich habe das gefunden: http://www.saiya.de/mathe/matrizen.htm
Aber wenn ich das wie im Link beschrieben mache, bekomme ich immer Triviale Lösungen Bsp.:

$\begin{eqnarray*} \vec{s} *\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,1 & 0,5 & 0,4 \end {pmatrix} = \vec{s} \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} \vec{s} *\begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & -0,3 & 0,1 \\ 0,1 & 0,5 & -0,6 \end {pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich ja diese Form

http://www.saiya.de/mathe/matrizen/image008.gif

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & -0,3 & 0,1 \\ 0,1 & 0,5 & -0,6 \end {pmatrix} =\vec{0} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Ich habe das Ergebnis, aber das kommt da nicht raus..

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,4583 & 0,3750 & 0,1667 \\ 0,4583 & 0,3750 & 0,1667 \\ 0,4583 & 0,3750 & 0,1667 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Achja:
Wieso ist eine Übergangsmatrix S nicht regulär, wenn $\begin{eqnarray*} \vec{p} = \begin{pmatrix} 1/4 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den stationären Zustand beschreibt?

04.03.2006, 18:12

Unwissender2000

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Achja, wenn etwas an meienr Frage unklar ist, dann sagt es mir bitte, und ich werde versuchen es genauer zu erklären!

04.03.2006, 19:44

Unwissender2006

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http://www.saiya.de/mathe/matrizen/image008.gif

Ach, ich habe die letze Zeile, als Nebenbedingung vergessen. Ich denke daran liegt es...

05.03.2006, 11:09

Unwissender!

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Oh man, das will einfach nicht klappen..

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & -0,3 & 0,1 \\ 0,1 & 0,5 & -0,6 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0 & -0,2 & 0,2 \\ 0,1 & 0,5 & -0,6 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0 & -0,2 & 0,2 \\ 0,2 & 1 & -1,2 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0 & -0,2 & 0,2 \\ 0 & 1,1 & -1,1 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0 & -0,1 & 0,1 \\ 0 & 0,1 & -0,1 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 0 & -0,1 & 0,1 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & -0,1 & 0,1 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & -0,1 & 0,1 \\ 0 & 1,5 & 1,5 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & -0,1 & 0,1 \\ 0 & 1,5 & 1,5 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & -1,5 & 1,5 \\ 0 & 1,5 & 1,5 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & -1,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & 3 \end {pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist S3 schon falsch =>1/3

Laut meinem Mathebuch ist das Ergebnis aber:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,4583 & 0,3750 & 0,1667 \\ 0,4583 & 0,3750 & 0,1667 \\ 0,4583 & 0,3750 & 0,1667 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also wäre S3 hier 0,1667

Bitte helft mir!

05.03.2006, 12:15

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RE: Stationäre Verteilung
Der Fehler ist folgender: In

$\begin{eqnarray*} \vec{s} *\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,1 & 0,5 & 0,4 \end {pmatrix} = \vec{s} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ ein Zeilenvektor, durch Transponieren der gesamten Gleichung wird daraus die meistens übliche Spaltenvektor-Schreibweise für solche linearen GlS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 & 0,1\\ 0,1 & 0,7 & 0,5\\ 0,1 & 0,1 & 0,4 \end {pmatrix} \cdot \vec{s}^T= \vec{s}^T \end{eqnarray*}$

Versuch es also mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-0,2 & 0,2 & 0,1\\ 0,1 & -0,3 & 0,5\\ 0,1 & 0,1 & -0,6\\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix}\cdot \vec{s}^T =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hast du mehr Erfolg.

05.03.2006, 13:12

Unwissender2006

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Hi Arthur Dent,
ich weiß zwar nicht wieso der Vektor transponiert ist, aber es klappt! Augenzwinkern