Substitution

04.03.2006, 17:36

sarah18

Substitution

ich weiß nicht wie man hier auf 18 kommt. vielleicht hat sich auch meine mathe-lehrerin vertan, könnt ihr mir weiter helfen?

hmm, ich weiß nicht wie man die zeichen hier einfügt, also schreibe ich es mal aus

integral von 0 bis 3, x^3*(9-x^2)^(-1/2)

wie gesagt, da soll 18 herauskommen und ich weiß einfach nicht wie. traurig

04.03.2006, 17:49

system-agent

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meinst du sowas:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~\frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}} ~dx \end{eqnarray*}$

04.03.2006, 17:50

Lazarus

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18 stimmt...
lösungsweg: substitution, partiell und nochmal substitution.. alles was ne gute aufgabe haben muss Big Laugh

04.03.2006, 21:25

sarah18

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RE: Substitution
ich komme immernoch nicht auf 18, vielleicht rechne ich es dir vor und du sagst mir was falsch ist...

u(z)= 2z^(1/2) u´(z)=z^(-1/2)
v(x)=9-x^2 v´(x)=2x

so. jetzt habe ich das problem das v´(x) nicht x^3 sondern 2x ist. also muss ich mit 1/2*x^2 erweitern, oder?

04.03.2006, 21:43

BraiNFrosT

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RE: Substitution

Zitat:

Original von sarah18
$\begin{eqnarray*} v(x)=9-x^2 \ \ \ \ v'(x)=2x \end{eqnarray*}$

Bitte schau dir nochmal das Vorzeichen an smile

04.03.2006, 22:26

sarah18

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ja ok... es ist -2x! aber dennoch hilft es mir nicht weiter. könnt ihr mir nicht präzise sagen, was man da machen muss?! traurig

04.03.2006, 23:00

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Lazarus
lösungsweg: substitution, partiell und nochmal substitution

Würdest du, oder jemand anderes, mal die erste Substitution verraten ?

04.03.2006, 23:23

aRo

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Zitat:

Original von Lazarus
18 stimmt...
lösungsweg: substitution, partiell und nochmal substitution.. alles was ne gute aufgabe haben muss Big Laugh

hö? eine substitution ist doch ausreichend, nämlich $\begin{eqnarray*} t = 9-x^2 \end{eqnarray*}$

aRo

04.03.2006, 23:34

BraiNFrosT

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Okay, mit der habe ich es auch versucht und dachte das wäre
falsch.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~\frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Substitution : u = 9 - x²

daraus folgt : $\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{-2x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{9-u} \end{eqnarray*}$

eingesetzt :
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~\frac{\sqrt{9-u}^3}{\sqrt{u}}~\frac{du}{-2\sqrt{9-u}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \int_{0}^{3}~\frac{9-u}{\sqrt{u}}~du \end{eqnarray*}$

Und jetzt partielle Integration.

04.03.2006, 23:36

aRo

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@Brainfrost: Wenn du noch die Grenzen änderst, stimmt es doch. Partielle Integration ist hier unnötig, splittet das Integral doch einfach auf.

aRo

04.03.2006, 23:46

mYthos

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Es geht mit einer einzigen Substitution, ohne partielle Integration und weiterer Substitution.

Wir setzen $\begin{eqnarray*} u^2 =9 - x^2 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} u \cdot du = -x \cdot dx \end{eqnarray*}$

Der Integrand wird nach Einsetzen für dx und Kürzen zu $\begin{eqnarray*} -x^2 \cdot du \end{eqnarray*}$ und nach Ersetzen von $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} u^2 - 9 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (u^2 - 9) \cdot du \end{eqnarray*}$

Das Weitere ist nun Kinderspiel, .... -> $\begin{eqnarray*} \frac{u(u^2 -27)}{3} = -\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3} \cdot (x^2 + 18) \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

04.03.2006, 23:55

BraiNFrosT

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Ja du hast recht. Normalerweise würde ich das ganze als
unbestimmtes Integral ausrechnen. Und dann nach der
Rücksubstitution wieder die alten Grenzen einsetzen.

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \int_{u(0)=9}^{u(3)=0}~\frac{9-u}{\sqrt{u}}~du \end{eqnarray*}$

Glaube irgendwas ist immernoch falsch unglücklich

Hab das aber auch schon lange nicht mehr gemacht, muss ich zugeben.

Edit : mYthos, deine Lösung ist die coolste smile

Jetzt muss ich nur noch meinen Fehler finden. Dabei ists ja nichtmal
meine Aufgabe .... aber sonst lässt mir das keine Ruhe.

05.03.2006, 00:03

aRo

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ich mache es einfach so:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int_{9}^{0}~ \frac{9-t}{ \sqrt{t}} dt = -0.5 \cdot [\int_{9}^{0}~\frac{9}{\sqrt(t)} ~dt -\int_{9}^{0}~\sqrt{t}~dt ] = \end{eqnarray*}$

nächste zeile (wegen latex)

$\begin{eqnarray*} -0.5 \cdot [\sqrt{t} \cdot \frac{2}{3} (27-t)]_{9}^0 \end{eqnarray*}$

aRo

05.03.2006, 00:41

BraiNFrosT

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Okay, habe meins nochmal durchgesehen und keinen Fehler gefunden.
aRo hat es ja fortgeführt und es kommt tatsächlich 18 heraus.
*aufatme* Wink

05.03.2006, 01:16

Lazarus

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ja stimmt aRo und mythos, so geht natürlich auch..

ich konnte bei der struktur (wurzel(zahl-x^2)) einfach nicht anders als an den trigonometrischen pythagoras denken. danke dieser blockade wäre ich dann wohl zwar komplizierter aber dennoch nicht minder erfolgreich ans ziel gekommen.

Mit abendlichen Grüßen

\\edit: hatte ich dich doch glatt übersehn mythos. bitte um vergebung Augenzwinkern

05.03.2006, 10:01

sarah18

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meine lehrerin hat also nicht gelogen... ich glaube ihr alle verprügelt mich, wenn ich euch leider sagen muss, dass ich diesen lösungsweg überhaupt nicht verstehe. ich habe ihn mir mehrmals angeguckt und kann mir da keinen reim drauf machen. in der schule hatten wir immer u(z) sowie u´(z) und v(x)=z sowie v´(x)=z´ bestimmt.

in diesem fall müsste es doch dann heißen:
u(z)= 2z^(1/2) u´(z)=z^(-1/2)
v(x)= 9-x^2 v´(x)=-2x

und jetzt bilde ich einfach u(v(x)) in den grenzen von 0 bis 3

also: 2*(9-x^2)^(1/2) in den grenzen von 0 bis 3

jetzt steht in dem integral aber ein x^3 für v´(x) und nicht -2x, deswegen muss ich damit doch etwas machen.

kann vielleicht jemand von euch meine rechnung weiterführen?! das mit dem du/ (-2x) sagt mir überhaupt nichts.

05.03.2006, 12:01

mYthos

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Zitat:

Original von sarah18
....
in diesem fall müsste es doch dann heißen:
u(z)= 2z^(1/2) u´(z)=z^(-1/2)
v(x)= 9-x^2 v´(x)=-2x

und jetzt bilde ich einfach u(v(x)) in den grenzen von 0 bis 3

also: 2*(9-x^2)^(1/2) in den grenzen von 0 bis 3

jetzt steht in dem integral aber ein x^3 für v´(x) und nicht -2x, deswegen muss ich damit doch etwas machen.

Eben deswegen kannst du die von dir beschriebene Regel* hier nicht anwenden! Bei weitem nicht alle Integrale lassen sich nur auf einem bestimmten Weg lösen. Je nach vorliegender Funktion muss entweder mit Substitution, partieller Integration oder mit noch anderen Methoden vorgegangen werden.

In deinem Falle führt die einfache Substitution zum Ziel:

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{9 - x^2} \end{eqnarray*}$ oder eben alternativ auch wie beschrieben: $\begin{eqnarray*} u = 9 - x^2 \end{eqnarray*}$

Der auf die Substitution folgende Weg ist immer der, dass diese zunächst differenziert wird und mit Hilfe der sich daraus ergebenden Beziehung das $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ und allenfalls Ausdrücke in x durch $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ bzw. u ersetzt werden. Der nunmehr in u vorliegende Integrand kann dan leichter nach $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ integriert werden (nicht immer ist das so, also muss man auch mit verschiedenen Substitutionen experimentieren).

Nach Ermittlung des Integrals kann dieses in Abhängigkeit von u stehengelassen werden, wenn man die x-Grenzen durch Einsetzen in die Substitution in u-Grenzen umrechnet. Oder man rechnet das Ergebnis ebenfalls mittels der Substitution wieder in x um und setzt die x-Grenzen ein.

Gehe bitte also nochmals die von uns angegebenen Rechenschritte durch und schreibe eventuell dann, wo es noch hakt.

mY+

*)
$\begin{eqnarray*} [u(v(x))]' = u'(v) \cdot v'(x) -> \int~u'(v) \cdot v'(x)~dx = u(v(x)) \end{eqnarray*}$

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