negatives Volumen nach Integrieren.

05.03.2006, 13:48

Marleen

negatives Volumen nach Integrieren.

Hallo,

Ich habe die Gleichungen: y=2x+4 und y=2*x^2. Die Fläche zwischen diesen Gleichungen soll ich um x=2 kreisen lassen und das Volumen berechnen.

Ich habe erstmals die Fläche aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} A=\int_{-1}^{2}~(2x+4)-(2x^2)~dx \end{eqnarray*}$ Heraus kommt dann eine positive Fläche: A=9

Um das Volumen zu bestimmen verwende ich die Shell-Methode:
$\begin{eqnarray*} V=2\pi r h = 2 \pi y (x-2) = 2\pi\int_{-1}^{2}~(-2x^2+2x+4)(x-2)~dx=-27 \end{eqnarray*}$ Laut Lehrer soll +27 heraus kommen. Wie kann das sein, dass ich eine positive Fläche habe, aber ein negatives Volumen? Und wie umgehe ich dieses Phänomen? Danke!

05.03.2006, 13:51

BraiNFrosT

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Ist nur eine Vermutung, aber hast du vielleicht die Grenzen
falsch herum eingesetzt ?

05.03.2006, 14:20

sqrt(2)

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RE: negatives Volumen nach Integrieren.

Zitat:

Original von Marleen
$\begin{eqnarray*} V=2\pi r h \end{eqnarray*}$

Das kommt schon rein einheitentechnisch nicht hin. Ich würde $\begin{eqnarray*} V=\pi r^2 h \end{eqnarray*}$ vorschlagen, ohne mir die restliche Rechnung jetzt angesehen zu haben.

05.03.2006, 14:56

Marleen

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RE: negatives Volumen nach Integrieren.
@sqrt: Natürlich kann man 2nrh (im meiner Aufgabe nimmt man dann dx) nehmen, das ist die Shell-Methode. Die Methode die du vorschlägst ist die Disc-Methode (in meiner Aufgabe nimmt man dann dy), mit der hat man dann noch mal extra Probleme (mehr rechnen), weil die Fläche zwischen den Graphen über die y-Achse geht.

05.03.2006, 15:03

Marleen

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RE: negatives Volumen nach Integrieren.
ok, ich hab's wie Brainfrost sagt, ich muss (2-x) als Faktor haben und nicht (x-2). Danke

05.03.2006, 15:04

sqrt(2)

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Ich hab von der "Shell-Methode" nichts gehört, aber $\begin{eqnarray*} V=2\pi rh \end{eqnarray*}$ ist falsch (wenn auch vielleicht nur falsch notiert); links stehen Kubikeinheiten und rechts Quadrateinheiten -- das kann nicht passen.

05.03.2006, 15:10

Leopold

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Durch Spiegelung an der Geraden $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ und anschließende Verschiebung um 2 nach links hat man die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} y = 2 (x-2)^2 \end{eqnarray*}$ für die Parabel

$\begin{eqnarray*} y = -2x + 8 \end{eqnarray*}$ für die Gerade

Ich komme dann auf das folgende Volumen

$\begin{eqnarray*} V = \pi \int_0^3~4x^2 (x-2)~\mathrm{d}x + \pi \int_0^3~2x^2~\mathrm{d}x = 27 \pi \end{eqnarray*}$

EDIT
Fehlenden Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vor zweitem Integral ergänzt

05.03.2006, 15:31

Marleen

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Leopold, du bist ein Schummler! Augenzwinkern

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negatives Volumen nach Integrieren.

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