taylorreihe konvergenzradius

05.05.2004, 22:13	christian	Auf diesen Beitrag antworten »
taylorreihe konvergenzradius hallo, vor einiger zeit hatte ich mal ne aufgabe mit einer taylor reihe gestellt. die lautete 1/(x-e) an der stelle 0 wie kann man mit hilfe des konvergenzradius konvergenz zeigen ? die n-te ableitung ist (-1)^n*n!(x-e)^-(n+1) der radius wird doch mit den hadamardschen formeln berechnet: z.b. \|a(n)/a(n+1)\| an sich heisst es \|x\|<r aber hmmm so ganz verstehe ich das noch nicht. koennte mir da bitte jmnd weiterhelfen ?
05.05.2004, 22:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Reihe Hier geht es um eine geometrische Reihe. In ihrer Reinform heißt die $\begin{align} \frac{1}{1-x} \ =\ \Bigsum_{k\geq0}^{}~x^k \end{align}$ Der Konvergenzradius ist 1. Die von dir gesuchte Reihe erhält man hieraus durch Substitution: $\begin{align} \frac{1}{x-e} \ =\ -\frac{1}{e-x} \ =\ -\frac{1}{e} \ \frac{1}{1-\frac{x}{e}} \end{align}$ An die Stelle von x tritt also x/e. Statt \|x\|<1 hat man jetzt \|x/e\|<1, also \|x\|<e, sprich: den Konvergenzradius e: $\begin{align} \frac{1}{x-e} \ =\ -\frac{1}{e} \Bigsum_{k\geq0}^{}~\(\frac{x}{e}\)^k \ =\ -\Bigsum_{k\geq0}^{}~ \frac{x^k}{e^{k+1}} \end{align}$

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