Funktionenschar - Differenzwinkel

05.03.2006, 14:55

Ari

Funktionenschar - Differenzwinkel

Hallo Leute smile

hab hier folgendes Problem: Gegeben ist eine Funktionenschar mit $\begin{eqnarray*} f_k(x)=x^2-kx+k \end{eqnarray*}$ . Gibt es Graphen der Schar, die sich in einem Winkel von 45° schneiden?

Pauschal erstmal: ja. Beispiel sind k=1,16 und k=-9,43.

Dann hab ich die erste Ableitung gebildet, Steigung m:
$\begin{eqnarray*} f'_k(x)=2x+k \end{eqnarray*}$
Da sich alle Graphen der Funktion im Punkt P(-1/1) schneiden setz ich für x=-1 ein, also $\begin{eqnarray*} m=-2+k \end{eqnarray*}$ . Für k möchte ich unterschiedliche Zahlen haben, ich nehme k und t, für die gilt $\begin{eqnarray*} k\neq t \end{eqnarray*}$ . Der Differenzwinkel soll 45° betragen, also $\begin{eqnarray*} \alpha_2-\alpha_1=45° \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_2>\alpha_1 \end{eqnarray*}$ . Um von der 1. Ableitung in Grad umzurechnen nehm ich Tangens, also
$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha_1)=-2+t \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \tan(45°+\alpha_1)=-2+k \end{eqnarray*}$ .
Aber wie komm ich jetzt weiter? Ist ja ein Gleichungssystem. Nur wie lös ich das auf? Bin ich irgendwo falsch vorgegangen?

Ciaoi Wink

05.03.2006, 16:30

mYthos

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Wie hast du den Schnittpunkt berechnet?
Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} S(1;1) \end{eqnarray*}$

Allgemein (mit $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ ) ist

$\begin{eqnarray*} x^2 - k_1x + k_1 - x^2 + k_2x - k_2 = 0 \end{eqnarray*}$
[EDIT: Minus bei $\begin{eqnarray*} k_1x \end{eqnarray*}$ ]

$\begin{eqnarray*} x(k_2 - k_1) = k_2 - k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

Ausserdem ist $\begin{eqnarray*} f'_k = 2x - k \end{eqnarray*}$ , du hast .. $\begin{eqnarray*} = 2x + k \end{eqnarray*}$ (x erst nach dem Ableiten einsetzen!)

Da hier 2 Gleichungen in 3 Variablen vorliegen, wird es mehrere Lösungen geben. Dazu verwendest du

$\begin{eqnarray*} tan(45° + \alpha) = \frac{1 + tan(\alpha)}{1 - tan(\alpha)} \end{eqnarray*}$ (1. Add. Theorem),

und ersetzt $\begin{eqnarray*} tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ durch den (richtigen!) Ausdruck in t. Danach kann t oder k gewählt und der andere zugehörige Parameter ermittelt werden.

Gr
mYthos

05.03.2006, 21:59

Ari

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Zitat:

Wie hast du den Schnittpunkt berechnet?

*ditsch* entschuldige mYthos, hatte mich versehen, wir haben in der Schule ständig zwischen $\begin{eqnarray*} f_k(x)x^2-kx+k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_k(x)=x^2+kx+k \end{eqnarray*}$ gewechselt, war etwas verwirrt. Tut mir sehr leid!
Scheint so, als hätte ich dich aber auch verwirrt (1. Gleichung), denke aber eher mal ein Tippfehler Augenzwinkern

Additionstheoreme *zweites-ditsch* Idee!

aber irgendwie komm ich immer noch nicht weiter unglücklich

jetzt halt ich mich erstmal an eine Funktion, nehm ich zuerst mal $\begin{eqnarray*} f_k(x)=x^2+kx+k \end{eqnarray*}$ , bevor ich noch mehr durchnander komme verwirrt

dann ist die Ableitung ja $\begin{eqnarray*} f_k(-1)=-2+k \end{eqnarray*}$ . also, für $\begin{eqnarray*} \tan\alpha_1=-2+t \end{eqnarray*}$ setz ich dann $\begin{eqnarray*} [latex]\frac{1+(-2+t)}{1-(-2+t)}=\frac{-1+t}{3-t} \end{eqnarray*}$ (ich hoffe mal, da hab ich mich nicht verrechnet). Ich komm auf nichts, was sich kürzen lässt und wenn ich das jetzt mit $\begin{eqnarray*} -2+k \end{eqnarray*}$ gleichsetze bin ich soweit wie vorher..sorry, ich komm nicht weiter.

06.03.2006, 01:13

mYthos

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Ja, stimmt, in der ersten Gleichung war ein Tippfehler (editiert).

Nun hast du aber die andere Funktion (mit dem plus) genommen, auch gut. Dann ist der gemeinsame Schnittpunkt der Schar (-1/1), auch gut.

Deine weitere Rechnung unter dieser Voraussetzung ist bis zum Schluss vollkommen richtig!

Nun kannst du ja einen Parameter wählen und den anderen daraus ausrechnen, denn wie bereits erwähnt, hatten wir ja nur 2 Gleichungen, aber 3 Variable (t, k, $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ ), es ergeben sich unendlich viele Lösungsmöglichkeiten (t;k), die aber alle die letzte Gleichung erfüllen müssen:

$\begin{eqnarray*} -2 + k = \frac{-1 + t}{3 - t} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} t = 2 \rightarrow k = 3 \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} t = 1 \rightarrow k = 2 \end{eqnarray*}$

und auch deine anfangs angeführten Werte passen:

$\begin{eqnarray*} k = 1,16 \rightarrow t = -9,5 \end{eqnarray*}$

Nun ist (hoffentlich) alles Wonne und Sonnenschein!

mY+

06.03.2006, 19:30

Ari

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Vielen lieben Dank für die Mühe, mYthos! Jetzt scheint die Sonne.

Ich bin zu verwöhnt, was diese Aufgaben angeht. Ich erwarte immer genau eine Lösung als Ergebnis Big Laugh

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