Extremalproblem mit Graph

06.05.2004, 01:56

Mathespezialschüler

Extremalproblem mit Graph

Also, ich hab folgende Aufgabe gefunden:

Eine der Ecken eines achsenparallelen Rechtecks liegt im Nullpunkt (A(0|0)), während die gegenüberliegende Ecke P im ersten Quadranten auf dem Graphen der Funktion $\begin{align*} y\ =\ \frac{2}{x^2\ +\ 1} \end{align*}$ liegt. Wie muss P gewählt werden, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt annimmt?

Ich bin bis hierhin gekommen:

Zielfunktion:

$\begin{align*} A\ =\ x\ \cdot \ y \end{align*}$

Nebenbedingung:

$\begin{align*} y\ =\ \frac{2}{x^2\ +\ 1} \end{align*}$

Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen:

$\begin{align*} A\ =\ x\ \cdot \ \frac{2}{x^2\ +\ 1} \end{align*}$

$\begin{align*} A\ =\ \frac{2x}{x^2\ +\ 1} \end{align*}$

Ich weiß ja wie man allgemein ableitet, aber mit Brüchen kann ich das noch nicht! Könntet ihr mir vielleicht mal die Ableitung eines Bruchs darstellen oder mir einen Tipp geben??? Danke euch!!

06.05.2004, 03:41

Poff

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RE: Extremalproblem mit Graph
@Mathespezialschüler

Quotientenregel:

$\begin{align*} \,{\frac {{\it Ableitung}\,{\it des}\,{\it Zaehlers}\,\cdot\,{\it Nenner}\,-\,{\it Ableitung}\,{\it des}\,{\it Nenners}\,\cdot\,{\it Zaehler}}{{{\it Nenner\,}}^{2}}} \end{align*}$

... aaber Vorsicht,
bei einfachen Polynomen im Zähler und Nenner klappt das,
ansonsten eher VORSICHT !!

Kauf dir ein Grafikrechner der algebraisches Rechnen beherrscht,
dann kannste den zumindest zur Kontrolle verwenden.

Zu deiner Aufgabe:
die Ableitung zur Kontrolle:

$\begin{align*} A'\,=\,-2\,{\frac {{x}^{2}-1}{ ({x}^{2}+1 )^{2}}} \end{align*}$

smile

07.05.2004, 19:35

Mathespezialschüler

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RE: Extremalproblem mit Graph
Ich hab irgendwie ne andere Lösung raus:

$\begin{align*} A\ =\ \frac{2x}{x^2\ +\ 1} \end{align*}$

$\begin{align*} A'\ =\ \frac{2(x^2\ +\ 1)\ -\ 2x(2x\ +\ 1)}{(x^2\ +\ 1)^2} \end{align*}$

$\begin{align*} A'\ =\ \frac{2x^2\ +\ 2\ -\ 4x^2\ +\ 2x}{(x^2\ +\ 1)^2} \end{align*}$

$\begin{align*} A'\ =\ \frac{-2x^2\ +\ 2x\ +\ 2}{(x^2\ +\ 1)^2} \end{align*}$

$\begin{align*} A'\ =\ -2\ \cdot \ \frac{x^2\ -\ x\ -\ 1}{(x^2\ +\ 1)^2} \end{align*}$

Wo ist denn jetzt mein Fehler???

07.05.2004, 19:37

Poff

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RE: Extremalproblem mit Graph
2. Zeile, Nenner falsch abgeleitet !!!
...

07.05.2004, 19:59

Mathespezialschüler

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RE: Extremalproblem mit Graph
Aber ist nicht die Ableitung von 1 auch 1 :

$\begin{align*} f(x)\ =\ 1^1 \end{align*}$

$\begin{align*} f'(x)\ =\ 1\ \cdot \ 1^0 \end{align*}$

$\begin{align*} f'(x)\ =\ 1 \end{align*}$

Oder ist es so (is mir grad eben eingefallen):

$\begin{align*} f(x)\ =\ 1\ \cdot \ x^0 \end{align*}$

$\begin{align*} f'(x)\ =\ 1\ \cdot \ 0\ \cdot \ x^{-1} \end{align*}$

$\begin{align*} f'(x)\ =\ 0 \end{align*}$

???

07.05.2004, 20:04

Poff

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RE: Extremalproblem mit Graph
Die Ableitung einer SUMME ist gleich der SUMME der ABLEITUNGEN

und die Ableitung ein jeder Konstanten ist Null

Welche Steigung hat denn f(x) = sqrt(Pi^3/5) ???

smile

07.05.2004, 20:33

Mathespezialschüler

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RE: Extremalproblem mit Graph

Zitat:

Original von Poff
Die Ableitung einer SUMME ist gleich der SUMME der ABLEITUNGEN

und die Ableitung ein jeder Konstanten ist Null

Welche Steigung hat denn f(x) = sqrt(Pi^3/5) ???

smile

Was ist denn die Steigung von f(x) = sqrt(Pi^3/5)?? Meinst du die Ableitung von $\begin{align*} f(x)\ =\ \sqrt{\pi^{3,5}} \end{align*}$ ???

Die Ableitung wäre auch 0. Mir is auch klar geworden, warum die Ableitung von jeder Konsanten 0 ist, ist sie doch, weil ja die Tangenten an den Graph der Ausgangsfunktion $\begin{align*} f(x) = r \end{align*}$ mit irgendeiner rellen Zahl r die Steigung bzw. den Winkel 0 bzw. 0° haben oder??

07.05.2004, 20:50

Fallen_Angel

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Und schon hast Du die Differentialrechnung verstanden Augenzwinkern

07.05.2004, 21:12

Poff

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RE: Extremalproblem mit Graph

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Was ist denn die Steigung von f(x) = sqrt(Pi^3/5)?? Meinst du die Ableitung von $\begin{align*} f(x)\ =\ \sqrt{\pi^{3,5}} \end{align*}$ ???

Nein, ich meinte schon die Steigung ...

Bei einer Geraden f(x) = ..... spricht man doch von
einer Steigung, oder ??

und f(x) = sqrt(Pi^3/5) ist doch eine Gerade, oder ???

Das mit der Ableitung ist dann nur der Folgeschluss daraus ...

smile

07.05.2004, 21:22

Mathespezialschüler

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RE: Extremalproblem mit Graph
Naja, diese Steigung is ja auch 0. Denn wenn bei y = mx + n m = 0 ist, dann ist ja die Steigung 0.

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Extremalproblem mit Graph

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