Rechtwinkeliges Dreieck - nur eine Kathete gegeben

10.06.2008, 23:32

Hender

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Rechtwinkeliges Dreieck - nur eine Kathete gegeben

Hallo - habe ein Problem mit einem Matherätsel...

Gegeben ist nur nur eine Kathete mit 30km und naürlich der rechte Winkel.
Gibt es eine Möglichkeit die Hypothenuse rechnerisch zu bestimmten?

Hintergrund ist ein Matherätsel...

Die Entfernung von der Stadt-A (die Stadt ist der 90° Winkel) zur Stadt-B sind 30km.
Die Entfernung von der Stadt-A zur Stadt-C ist ein unbekannter Teil von 50km (50 - x [?]).
Gesucht ist die Entfernung von Stadt-B zu Stadt-C und von Stadt-A zu Stadt-C.

Ich habe schon alles mögliche Versucht - komme aber auf keine Lösung...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen - gruß Hender

10.06.2008, 23:36

Zizou66

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Kennst du die Anwendung von sin, cos und tan in rechtwinkligen Dreiecken?

10.06.2008, 23:45

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@Hender

Kann es sein, dass du eine Info "vergessen" hast anzugeben? Z.B., dass alle Kilometerangaben ganzzahlig sein müssen, so wie hier ?

11.06.2008, 09:14

Hender

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Zitat:

Original von Zizou66
Kennst du die Anwendung von sin, cos und tan in rechtwinkligen Dreiecken?

Ich denke schon - allerdings kenne ich keinen Fall, wo man nur eine Kathete und den rechten Winkel gegeben hat.

Leider habe ich auch nicht mehr Infos.

Der Link ist zwar schon nicht schlecht - aber 30 ist kein Primzahl (wenn ich den Link richtig verstanden habe) - also haut das nicht hin.

Wenn ich heute Nachmittag Zeit finde, tippe ich das Rätsel mal ab, evtl. habe ich ja was übersehen.

11.06.2008, 09:32

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Zitat:

Original von Hender
Der Link ist zwar schon nicht schlecht - aber 30 ist kein Primzahl (wenn ich den Link richtig verstanden habe) - also haut das nicht hin.

So richtig hast du dir den Link nicht durchgelesen bzw. durchdacht, wenn du so antwortest.

Wenn tatsächlich die Ganzzahligkeit als Bedingung dazukommt, kommt man mit der beschriebenen Methode - natürlich auf die Zahlen hier modifiziert - auf genau zwei mögliche Lösungen.

11.06.2008, 09:41

TheWitch

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RE: Rechtwinkeliges Dreieck - nur eine Kathete gegeben

Zitat:

Original von Hender
Die Entfernung von der Stadt-A zur Stadt-C ist ein unbekannter Teil von 50km (50 - x [?]).

Das Wort "Teil" deutet ja nun schwer auf ein Divisionszeichen bzw. einen Bruchstrich hin. ;-) Es sollte also gelten $\begin{eqnarray*} |AC| = \frac{50}{x} \end{eqnarray*}$ .

Der Pythagoras ergibt sich damit zu $\begin{eqnarray*} |BC|^2 = 30^2 + (\frac{50}{x})^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn alle Streckenlängen ganzzahlig sein sollen, wird das ganze überschaubar, da die Primfaktorzerlegung von 50 überschaubar ist: 50 = 2 * 5 * 5. Die Gleichung hat genau eine ganzzahlige Lösung, die es herauszufinden gilt.

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11.06.2008, 10:15

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Zitat:

Original von TheWitch
Die Gleichung hat genau eine ganzzahlige Lösung, die es herauszufinden gilt.

Also ich sehe da überhaupt keine ganzzahlige Lösung für $\begin{eqnarray*} \overline{BC} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Teiler von 50 durchläuft. unglücklich

unglücklich

11.06.2008, 10:23

Hender

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Hender
Der Link ist zwar schon nicht schlecht - aber 30 ist kein Primzahl (wenn ich den Link richtig verstanden habe) - also haut das nicht hin.

So richtig hast du dir den Link nicht durchgelesen bzw. durchdacht, wenn du so antwortest.

Wenn tatsächlich die Ganzzahligkeit als Bedingung dazukommt, kommt man mit der beschriebenen Methode - natürlich auf die Zahlen hier modifiziert - auf genau zwei mögliche Lösungen.

Habe mir den Link noch einmal durchgelesen. Wenn ich das jetzt richtig deute, dann sieht das so aus:

Ich gehe jetzt davon aus das am Ende eine "gerade" Zahl rauskommt und gehe jetzt mal von 30.000 Metern aus - damit das Ergebnis genauer wird.

30000² +b² = c²

-->

c²-a² = (c+a)*(c-a) = 30000²

-->

30000² = 2²*2²*2²*2²*3²*5²*5²*5²*5² (Primfaktorzerlegung)

dann komme ich nicht weiter, da ja das hier.

Zitat:

(c+a)-(c-a)=2a auch (c+a) und (c-a) gerade Zahlen sein

eintreffen muß und die Primfaktorzerlegung ja mehr als 2 Zahlen ergibt

bin ich in die völlig falsche Richtung gelaufen, oder ist der Ansatz schon mal richtig?

11.06.2008, 10:31

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Zitat:

Original von Hender
und gehe jetzt mal von 30.000 Metern aus - damit das Ergebnis genauer wird.

Wenn du plötzlich die Forderung der Ganzzahligkeit der Kilometerzahl in eine Ganzzahligkeit der Meterzahl abschwächst, ist das eine radikale Veränderung der Sachlage - dessen bist du dir hoffentlich bewusst!

11.06.2008, 10:34

Hender

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Das war mir nicht bewußt, aber selbst wenn ich bei 30km bleibe hat die Zerlegung von 30 ( 2 * 3 * 5 ) mehr als 2 Zahlen, dann würde die Lösung im Link ja nicht funktionieren - oder?

11.06.2008, 10:49

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Doch, sie funktioniert, aber eben mit zwei möglichen Lösungen. Ich bezieh mich mal nicht weiter auf den verlinkten Thread, um ein Bezeichnungswirrwarr zu vermeiden - dort war nämlich $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Hypotenuse, hier ist es $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also: Bei dir sind gegeben $\begin{eqnarray*} c=\overline{AB}=30 \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} b=\overline{AC} \end{eqnarray*}$ gesucht ist. Neben der Ganzzahligkeit von $\begin{eqnarray*} b,c \end{eqnarray*}$ sowie der Hypotenuse $\begin{eqnarray*} a=\overline{BC} \end{eqnarray*}$ gibt es noch eine weitere Bedingung: TheWitch hat diese so gedeutet, dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 50 sein soll - da es aber in diesem Fall keine Lösung gibt, gehe ich eher von deiner ursprünglichen Auffassung $\begin{eqnarray*} b\leq 50 \end{eqnarray*}$ aus.

Pythagoras ergibt $\begin{eqnarray*} 30^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = (a+b)(a-b) \end{eqnarray*}$ .

Sowohl $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ müssen gerade sein (siehe verlinkter Thread), damit sind die beiden Primfaktoren 2 schon vergeben.
Für die beiden 3en und 5en ist zu beachten, dass sie so verteilt werden müssen, dass $\begin{eqnarray*} a+b>a-b \end{eqnarray*}$ gilt. Das ergibt folgende Restmöglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} a+b=2\cdot 3^2\cdot 5^2,a-b=2 \quad\Rightarrow\quad a=226,b=224 \end{eqnarray*}$ , keine Lösung des Problems, da $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zu groß.

$\begin{eqnarray*} a+b=2\cdot 3\cdot 5^2,a-b=2\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad a=78,b=72 \end{eqnarray*}$ , ebenfalls $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zu groß

$\begin{eqnarray*} a+b=2\cdot 3^2\cdot 5,a-b=2\cdot 5 \quad\Rightarrow\quad a=50,b=40 \end{eqnarray*}$ , passt.

$\begin{eqnarray*} a+b=2\cdot 5^2,a-b=2\cdot 3^2 \quad\Rightarrow\quad a=34,b=16 \end{eqnarray*}$ , passt ebenfalls.

11.06.2008, 11:03

Hender

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Ich bin beeindruckt - auch wenn ich das nicht zu 100% verstanden habe.

wie würde denn die Lösung aussehen wenn die Entfernung 40km ( also 2*2*2*5) ist?

[Das währe die Variante für die Städte C, D & E... so bekomme ich dann raus welche der beiden Lösungen richtig ist, da ja B ja 50 ergeben muß.]

Vielen Dank schonmal für die bisherige Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2008, 11:20

TheWitch

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von TheWitch
Die Gleichung hat genau eine ganzzahlige Lösung, die es herauszufinden gilt.

Also ich sehe da überhaupt keine ganzzahlige Lösung für $\begin{eqnarray*} \overline{BC} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Teiler von 50 durchläuft. unglücklich

unglücklich

Ups, stimmt - sorry.

11.06.2008, 11:45

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Zitat:

Original von Hender
wie würde denn die Lösung aussehen wenn die Entfernung 40km ( also 2*2*2*5) ist?

Das kannst du gern mal selbst probieren. Dazu betrachtest du alle Aufteilungen der Primfaktorzerlegung

$\begin{eqnarray*} 40^2 = 2^6\cdot 5^2 \end{eqnarray*}$

auf die beiden ganzzahligen Faktoren $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ . Drauf achten musst du wieder wie oben, dass beide Faktoren jeweils mindestens eine 2 enthalten müssen, und dass $\begin{eqnarray*} a+b>a-b \end{eqnarray*}$ gewährleistet ist. Frisch ans Werk!

P.S.: Achso ja, vielleicht war dir noch unklar, wie man aus $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ kommt? Da ist ein einfaches lineares Gleichungssystem zu lösen, in aller Kürze:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{(a+b)+(a-b)}{2},\quad b = \frac{(a+b)-(a-b)}{2} \end{eqnarray*}$

11.06.2008, 12:32

Hender

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Danke für die Erklärung, ich habe jetzt alles Varianten durchgerechnet wo a-b kleiner als a+b ist und komme auf kein passendes Ergebnis. Die einzigen Werte die für "b kleiner als 50" zutrifft sind 9, 30 und 42.

Hab ich da was falsch gemacht?

11.06.2008, 13:00

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Sieht gut aus. Die anderen 4 Varianten für b sind 75, 96, 198 und 399, aber die sind ja alle größer als 50.

11.06.2008, 13:39

Hender

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Genau - dann ist das schonmal richtig. Problem... in keiner Kombination ergeben die Ergebnisse aus der Aufgabe mit 30km und der Aufgabe mit 40km die Länge der Strecke 50km. unglücklich

unglücklich

11.06.2008, 13:43

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Da hast du nicht richtig hingeschaut: Bei c=30 gab es den Fall

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} a+b=2\cdot 3^2\cdot 5,a-b=2\cdot 5 \quad\Rightarrow\quad a=50,b=40 \end{eqnarray*}$ , passt.

und bei c=40 den Fall

Zitat:

Original von Hender
Die einzigen Werte die für "b kleiner als 50" zutrifft sind 9, 30 und 42.

Also wo ist das Problem?

EDIT: Dein letzter Kommentar hat mich nachdenklich gemacht - gibt es eine Info, die du uns trotz ausdrücklicher Nachfrage verschwiegen hast:

Zitat:

Original von Hender
[Das währe die Variante für die Städte C, D & E... so bekomme ich dann raus welche der beiden Lösungen richtig ist, da ja B ja 50 ergeben muß.]

Ist das am Ende so zu deuten, dass die Hypotenuse gleich 50 km ist? Aber wieso fragst du dann im ersten Beitrag nach der Hypotenuse? Alles sehr mysteriös - wie so oft, wenn die Fragesteller nicht wissen, was sie eigentlich wollen...

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