Rekursive Folgen und vollst. Induktion

05.03.2006, 21:19

jives

Rekursive Folgen und vollst. Induktion

Hi!
Ich steh vor einem Problem bezgl. rekursiv definierter Folgen und weiß nicht weiter. Grundsätzlich gehts um Konvergenz und dazu muss man ja schauen, ob eine Folge monoton ist.
Ich muss also mittels vollständiger Induktion beweisen, dass die Folgen

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = {a_n}^2 + \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

monoton wachsend sind.

Bei beiden habe ich den Induktionsanfang

$\begin{eqnarray*} x_0 = 1 < x_1 = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

sowie den Induktionsschluss

$\begin{eqnarray*} x_n < x_{n+1} \end{eqnarray*}$

aber ich weiß nicht, wie ich das auf die obige Form bringen soll. Ich könnte auf beiden Seiten mit x_n+1 multiplizieren, und dann die Wurzel ziehen, aber dann hätte ich immer noch

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} > \sqrt{x_{n+1} * x_n} \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} > \sqrt{1 + x_n} \end{eqnarray*}$

Beim 2. habe ich das gleiche Problem. Also eigentlich gehts um das Umformen der Ungleichung Augenzwinkern

Es sei denn ich hab hier etwas vollkommen falsch verstanden...
Das Problem ist die Wurzel bzw. das Quadrat da irgendwie reinzuschummeln.

Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte. Ich rechne schon den ganzen Tag herum (nicht nur an den beiden Sachen Augenzwinkern

) und seh den Wald vor lauter Bäumen schon nicht mehr unglücklich

05.03.2006, 21:33

marci_

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mach doch einfach:
m(x+1)-m(x) und dann siehst du, ob es größer oder kleiner 0 ist=)

05.03.2006, 21:42

phi

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moin,

Das erste müsste mit der Bernoullischen Ungleichung zu machen sein:

Für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ und alle natürlichen Zahlen n gilt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$ .

Betrachte

$\begin{eqnarray*} x_n ~ < ~ x_{n+1}\\ \Rightarrow x_n ~ < ~ \sqrt{1+x_n}\\ \Rightarrow x_n^2<1+x_n \end{eqnarray*}$

Beim zweiten kannst du glaube ich wenn du $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ ausdrückst (Verschachteln) die rekursive Folge auf eine geometrische Folge zurückführen.

Aber bleiben wir erstmal beim ersten, erfahrungsgemäß gibt´s nur Verwirrung wenn man über zwei Aufgaben gleichzeitig redet.

mfg, phi

05.03.2006, 21:55

jives

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Zitat:

Original von phi

$\begin{eqnarray*} x_n ~ < ~ x_{n+1}\\ \Rightarrow x_n ~ < ~ \sqrt{1+x_n} \end{eqnarray*}$

Der Schritt ist mir leider völlig unklar. unglücklich

Die Anwendung der Bernoullischen Unglauchung auch, wenn $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein muss, würde das ja für n = 1/2 nicht gelten? verwirrt

@marci_
Der Beweis mittels VI wird leider in dem Beispiel gefordert.

06.03.2006, 09:02

phi

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RE: Rekursive Folgen und vollst. Induktion
In dem Schritt hab ich einfach die Rekursionsformel eingesetzt:

Zitat:

Original von jives

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n ~ < ~ x_{n+1}\\ \Rightarrow x_n ~ < ~ \sqrt{1+x_n} \end{eqnarray*}$

Es gibt eine reelle Verallgemeinerung der Bern. Ungl.:

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für x > 1 gilt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^r\geq 1+rx \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} r \leq 0 ~ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ~ r \geq 1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (1+x)^r\leq 1+rx \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} ~ 0 \leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Bin mir jetzt aber nicht mehr sicher ob es damit geht - überlege mir was anderes und lasse es dich wissen.

mfg, phi

06.03.2006, 15:17

jives

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RE: Rekursive Folgen und vollst. Induktion

Zitat:

Original von phi
In dem Schritt hab ich einfach die Rekursionsformel eingesetzt:

Zitat:

Original von jives

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n ~ < ~ x_{n+1}\\ \Rightarrow x_n ~ < ~ \sqrt{1+x_n} \end{eqnarray*}$

Wenn das zulässig ist - und das ist es wohl Augenzwinkern

- kann ich doch einfach

$\begin{eqnarray*} x_n ~ < ~ \sqrt{1+x_n} \\ {x_n}^2 ~ < ~ 1 + x_n \\ 0 > {x_n}^2 - x_n - 1 \end{eqnarray*}$

rechnen, was die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x' = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \\ x'' = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

gibt - und zumindest für x' stimmt (und gleichzeitig die möglichen Grenzwerte liefert). So ganz interpretieren kann ich das nicht - bei der anderen Folge (a_n) stimmt die Ungleichung nach der Methode auch für beide Lösungen. Ist diese Methode zulässig?

@ marci_
Du hast aber recht, ich kann ja

$\begin{eqnarray*} x_n - x_{n+1} < 0 \end{eqnarray*}$

mittels VI beweisen versuchen...

06.03.2006, 15:26

phi

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Wenn es darum geht, den Grenzwert zu berechnen, und damit auch die Konvergenz (da durch Grenzwert beschränkt) ja. Bei Folge x_n ist der Grenzwert der sog. "Goldene Schnitt" (mein "Namensgeber").

Für den Nachweis der Monotonie reicht es noch nicht ganz. Dazu wäre nur noch zu zeigen, dass 1< x_n < g mit g als Grenzwert. Aber das steht ja schon alles da, muss nur formuliert werden.

Was hast du genau bei der 2.Folge gemacht ? Die ist nämlich nicht konvergent, also nicht beschränkt (das müssten wir nachweisen). Sie ist unbeschränkt und monoton steigend.

mfg, phi

06.03.2006, 15:40

jives

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Genau darum gehts smile

1. Folge (x_n)
Da hab ich die möglichen Grenzwerte berechnet, Monotonie mit obiger Methode und damit Konvergenz bewiesen.
Wobei ich Beschränktheit noch beweisen muss - aber das sollte ich hoffentlich hinbekommen. Werds gleich ausprobieren Augenzwinkern

2. Folge (a_n)
Hier geht es ebenfalls um die Grenzwerte und Konvergenz, allerdings in Abhängigkeit des Startwertes. Die möglichen Grenzwerte sind 1/3 und 2/3.
Beschränktheit ist für a_0 = 0 gegeben, Monotonie nach obiger Methode auch - daraus folgt dass a_n für a_0 = 0 konvergent gegen 1/3 ist. Für andere a_0 muss ich noch überlegen, für a_0 = 1 ist sie auf jeden Fall divergent, wahrscheinlich auch für alle a_0 > 0 verwirrt

Die Grenzwerte bei beiden hab ich mit der Annahme

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$

berechnet, was auf die gleiche quadr. Gleichung führt wie oben.

06.03.2006, 15:49

jives

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Ganz vergessen: Beschränktheit von

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = {a_n}^2 + \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Nach oben beschriebener Methode die Grenzwerte 1/3 und 2/3 gefunden.
Vermutung: Folge konvergiert gegen 1/3

IA:
$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 ~ < ~ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

IS:
$\begin{eqnarray*} a_n ~ <~ \frac{1}{3} \\ {a_n}^2 ~ < ~ \frac{1}{9} \\ 0 ~ > ~ {a_n}^2 - \frac{1}{9} \\ \frac{3}{9} ~ > ~ {a_n}^2 + \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

was aber genau

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} ~ > ~ a_{n+1} \end{eqnarray*}$

entspricht, was zu beweisen war.

P.S.: Jetzt muss ich nur noch rausfinden, wie man normale Textabsätze im Latex schreiben kann Augenzwinkern

06.03.2006, 15:52

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Der Tipp von marci_ war eigentlich schon richtig, er hat ihn nur so sparsam formuliert, dass er unklar blieb. Also: Mit $\begin{eqnarray*} m(x)=\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ geht der Induktionsschluss so:

$\begin{eqnarray*} x_{n+2}-x_{n+1} &=& m(x_{n+1})-m(x_n) = \sqrt{1+x_{n+1}}-\sqrt{1+x_n}\\ &=& \frac{(1+x_{n+1})-(1+x_n)}{\sqrt{1+x_{n+1}}+\sqrt{1+x_n}} = \frac{x_{n+1}-x_n}{\sqrt{1+x_{n+1}}+\sqrt{1+x_n}} > 0 \end{eqnarray*}$ .

Alternativ geht die Begründung natürlich auch so, dass man direkt auf die Monotonie der Funktion $\begin{eqnarray*} m(x) \end{eqnarray*}$ verweist.

06.03.2006, 15:55

jives

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Ja, das ist mir heute auch eingefallen, probiert hab ichs nur noch nicht. Danke auf jeden Fall smile

Lieber wäre mir meine Lösung die auf eine quadr. (Un-)Gleichung führt, aber ich frage mich, was ich davon halten soll, dass die Ungleichung nur auf eine Lösung zutrifft. Das kann ich nicht ganz interpretieren.

06.03.2006, 16:00

phi

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Zur 1.Folge. Als Grenzwert der monoton wachsenden Folge kommt nur die positive Lösung in Frage.

Zur 2.Folge. Wenn du als Startwert a_o=2/3 nimmst, kommt der andere Grenzwert (2/3) heraus.

mfg

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