Dreieck bestimmen

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck bestimmen
Hallo miteinander!

gegeben:

A(4|1|1)
B(-2|3|0)

IE: 2x1+2x2+x3=5

Ermittle den Eckpunkt D aus IE so, dass die senkrechte Projektion des Dreiecks ABD in die x1-x2-Ebene positiven Umlaufsinn mit dem Flächeninhalt von 4, und in die x2-x3-Ebene negativen Umlaufsinn mit dem Flächeninhalt 7 besitzt.

Am meisten Probleme habe ich mit dem Begriff "Umlaufsinn" und dem Miteinbezug dessen in die Aufgabe.
Hat jemand eine Ahnung, wie man diese Aufgabe lösen kann?

Gruß Björn
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Die Projektion des Raumpunktes auf die - Ebene sei .

[EDIT:

A', B' bzw. A'', B'' seien die Projektionen der Punkte A, B auf die jeweiligen Koordinatenebenen.

]

Die Angabe der Orientierung des Flächeninhaltes des Dreieckes bzw. ist deswegen notwendig, weil es zwei Möglichkeiten der Lage von bzw. gibt, für die der Flächeninhalt gleich ist.

Positiv orientiert ist die Fläche dann, wenn der Umlaufsinn der drei Punkte A, B, positiv ist, d.h. gegen den Uhrzeigersinn läuft, negativ sonst.

Analog verläuft dies dann auch für die - Ebene.

Daher gewinnen wir für die drei Koordinaten von D drei Gleichungen (D in Ebene, , ).

Hinweis: Die doppelte Dreiecksfläche ist der Betrag des Vektorproduktes zweier das Dreieck bildender Vektoren.

Gr
mYthos
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine 3 Gleichungen lauten dann:







Also das Prinzip ist mir jetzt klar, nur schon nach dem Austellen der ersten Gleichung für den Flächeninhalt 4 hat man ja schon keine Lust mehr weiterzurechnen. Ok, ich könnte die quadratische Gleichung nachher irgendwo von einem Programm lösen lassen, aber das Mittel hat man ja während einer Klausur auch nicht.

Hab ich da was falsch verstanden oder wird die Rechnung wirklich so ellenlang?

Gruß Björn
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ganze ist ziemlich eklig zu rechnen, und ich erhalte sogar 4 lösungen,
aber nur C(6/-1/-5) erfüllt alle bedingungen.
glaube ich, irrtum freibeibend
werner

n.s. bin altmodisch, bei mir heißt der 3. punkt im dreieck immer noch C.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

[EDIT:]

Stimmte hier nicht und ist bereits überholt, sh. nächste Antworten!

[........]

mY+

@werner: Die Bezeichnung D musste ich wohl aus der Angabe übernehmen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Angabe nochmals genau durchgelesen und sehe gerade, dass noch etwas dahingegend zu korrigieren ist, dass die Flächenberechnungen ja immer nur für die Projektion des ganzen Dreieckes (d.h. auch insbesondere für die Projektionen von A und B auf die jeweiligen Koordinatenebenen) zu gelten haben!

Björn, deine Gleichungen lauten dann (sh. Ergänzung in meiner ersten Antwort):







Die Vektorprodukte reduzieren sich jeweils auf eine einzige Determinante, weil die dritten bzw. ersten Koordinaten der Vektoren Null sind.

Für den ersten Fall ( - Ebene) liegt bereits darin, aber statt A ist A'(4;1;0) zu nehmen. Desgleichen dann für die - Ebene: und .

Ich denke, dass dadurch die Berechnung einfacher werden kann, weil dann die Fläche nur noch 2-dimensional ist, z.B. im ersten Fall als einfache Determinante (mit und )



Da die Fläche der Betrag der Determinante ist, muss man (hinsichtlich der Orientierung) der Fläche jenes Vorzeichen geben, welches der verlangten Orientierung entspricht. Positiv orientiert: Fläche positiv, Det. positiv, .... . Im zweiten Fall ( - Ebene) muss die Fläche (der Wert der Determinante) negativ werden.

Somit ergeben sich zusätzlich zu der Ebenengleichung noch die zwei einfachen linearen Gleichungen:




---------------------------------------
....

Die Lösung des ganzen Systemes lautet dann



mY+
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hilfe.

@mYthos

Stimmt, wenn man das in eine Ebene projizierte Dreieck betrachtet fällt ja schonmal eine Dimension weg, also wird null. Das habe ich in meinen Gleichungen vernachlässigt. Jetzt ist das Lösen des LGS ja kein Problem mehr.

Gruß Björn
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