Integral einer Kurve über Vektorfeld 2

06.03.2006, 10:21

Horschie

Integral einer Kurve über Vektorfeld 2

Hallo,

gegeben ist folgendes:

Das Vektorfeld v: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \Rightarrow \mathbb R^2~mit~v(x,y) = \begin{pmatrix} x*y \\ y^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Kurve C = $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} u \\ w\end{pmatrix} \in \mathbb R^2~|~ 1=\frac{u^2}{4}+w^2\} \end{eqnarray*}$

Die Kurve C beschreibt eine Ellypse. Parametrisiert lässt sich diese wie folgt darstellen:
$\begin{eqnarray*} x=2*cos(t);~y=sin(t);~(0\leq t\leq 2\pi) \end{eqnarray*}$

Zu berechnen ist: $\begin{eqnarray*} \int_{C}^{}~v~dx \end{eqnarray*}$

Mit dem Ansatz zur Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve
ergibt sich folgende Rechnung:

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~v(w(t))~*~w'(t)dt \end{eqnarray*}$

v = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x*y \\ y^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
w = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2*cos(t) \\ sin(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
w' = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2*sin(t) \\ cos(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~v(\begin{pmatrix} 2*cos(t) \\ sin(t)\end{pmatrix} )~*~w'(t)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\begin{pmatrix} 2*cos(t)*sin(t) \\ sin^2(t)\end{pmatrix} ~*~w'(t)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\begin{pmatrix} 2*cos(t)*sin(t) \\ sin^2(t)\end{pmatrix} ~*~\begin{pmatrix} -2sin(t) \\ cos(t)\end{pmatrix} dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~-4*cos(t)*sin^2(t)+cos(t)*sin^2(t)~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~-3*cos(t)*sin^2(t)~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~-3*cos(t)*(1-cos^2(t))~dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~-3*cos(t)+3*cos^3(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*[-sin(t)+sin(t)-\frac{sin^3(t)}{3} ]_{b}^a = [-sin^3(t)]_{b}^a \end{eqnarray*}$

für die Integration über $\begin{eqnarray*} (0\leq t\leq 2\pi ) \end{eqnarray*}$ ergibt sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} [-sin^3(t)]_{0}^{2\pi} =0 \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz richtig gewählt und die Rechnung korrekt ausgeführt?
Was mich verwirr ist, daß als Ergebnis Null herauskommt...

danke für eure Hilfe
Christoph

06.03.2006, 10:57

phi

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Sieht gut aus. Bei den Grenzen 0 und 2Pi ist Ergebnis 0 kein Wunder, bei Sinus schon gar nicht. Big Laugh

Edit: Das 0 rauskommt hat noch einen tieferen Grund: Das Vektorfeld ist wirbel & quellenfrei, d.h. rot v =0 und div v =0. In so einem Fall sind Integrale über geschlossenen Wegen immer 0.

Hier ist z.B. div v = 3y, wenn man y=sin (2pi) und y=sin(0) einsetzt ist also div v=0.

Das einzige was mich verwirrt, ist dass du einmal eine Komponente mit w bezeichnest C(u,w) , und danach w(t) als Namen der Parametrisierung nimmst. Nenn die Parametrisierung doch einfach c(t). Namen sind zwar Schall & Rauch wie eine Mathe-Professorin mal meinte, aber sollten in ein und demselben Kontext nicht mehrere Bedeutungen haben.

Zitat:

Original von Horschie

Die Kurve C = $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} u \\ w\end{pmatrix} \in \mathbb R^2~|~ 1=\frac{u^2}{4}+w^2\} \end{eqnarray*}$

Ansonsten: Freude

mfg, phi

06.03.2006, 11:01

Horschie

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Hey,

ja gut...ich sag mal so: Ich war mir halt nicht so ganz sicher ob die von mir angenommenen Grenzen die richtigen sind.

Danke schön! Mit Zunge

06.03.2006, 11:09

phi

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Die sind richtig, eine geschlossene Ellipse muss ja auch volle 360° umrunden.

PS: oben Edit lesen.

Wie hast du denn die Parametrisierung hergeleitet ?

mfg, phi

06.03.2006, 16:58

Horschie

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Hi,

die Parametrisierung habe ich aus einem Mathebuch...
"Meyberg - Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1"

Muss ich aber zum Glück nicht herleiten...reicht wenn ich das Integral berechnen kann Tanzen

Gruß
Christoph

06.03.2006, 19:46

phi

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Die Parametrisierung kann man sich anhand der analogen Parametrisierung der Kreisfunktion ungefähr so herleiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{4}+w^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w(u)=\pm \sqrt{1- ( \frac{u}{2}})^2 \end{eqnarray*}$

Dabei benutze ich jetzt auch die "schlampige" Bezeichnung wo w und y sowohl für die Funktion, also auch für die abhängige Variable stehen. Macht die Sache dafür "intuitiv" verständlicher.

Analogie zur Kreisfunktion:

$\begin{eqnarray*} y(x)= \pm \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Setze jetzt $\begin{eqnarray*} x:=\frac{u}{2} \Rightarrow u=2x \end{eqnarray*}$ ,

andererseits ist die Parametrisierung der Kreisfunktion:

$\begin{eqnarray*} x= \cos t ~ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ~ y= \sin t \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} u=2x \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} u(t)=2 \sin t ~ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ~ y=w(t) = \sin t \end{eqnarray*}$

smile

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