Inverse

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mausi201 Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse
Aufgabe heisst:
Bestimme zu allen Elementen von und
-sofern diese existieren- die Inversen.
wie funktioniert das ???
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder du probierst einfach bei beiden aus (rohe Gewalt bei 13 Elementen ist auch nicht so schlimm, denke ich. Wobei man leicht zeigen kann, dass in Z/(8) die geraden Zahlen gar nie nicht invertierbar sein koennen. *g* Aber z.B. die 3 ist invertierbar, weil 3*3=9 bei Division mit 8 den Rest 1 ergibt).

Z/(7) ist ein Koerper - was du vermutlich schon weisst. ;) Bei Z/(8) ist das etwas anders, denn das ist nur ein Ring. Aber da sollte dir wiederrum ein Satz oder Lemma gegeben sein, dass dir sagt, welche Elemente von Z/(n) ueberhaupt invertierbar sein koennen.
Ist dir dieses Lemma nicht gegeben, dann ist es auch nicht weiter schlimm, denn das kannst du in 3 Zeilen beweisen. Und dann haettest du weniger Zahlen, bei denen du rumprobieren musst. Schreib, wenn du wissen moechtest, wie.
 
 
mausi201 Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe traurig ja bitte schreib mir das auf,das wäre ganz lieb
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Bevor ich anfangen kann, muss ich wissen, was ihr ueber den ggT wisst und ueber euklidische Ringe. Wenn ihr darueber noch nicht genug gelernt habt, dann wirst mit meinem Beweis Schwierigkeiten haben.
mausi201 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt na fang ma an ich gucke mal ob ichs verstehe...
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich brauchst du nur den Satz, dass in einem euklidischen Ring zwei Zahlen n,m genau dann teilerfremd sind, wenn es Elemente a,b aus dem Ring gibt mit
a*n + b*m = 1.


Damit kannst du leicht zeigen, dassin Z/(n) die invertierbaren Elemente genau die zu n teilefremden Elemente sind:

Erstmal nehmen wir ein x aus Z, das zu n teilerfremd ist. Da Z ein euklidischer Ring ist, heisst das, dass es Elemente a und b aus Z gibt mit a*x + b*n = 1. In Z/(n) ergibt das a*x = 1, d.h. x ist in Z/(n) invertierbar.
Ist umgekehrt x in Z/(n) invertierbar, so gibt es ein y aus Z/(n) mit x*y = 1 in Z/(n). Also gibt es ein b aus Z mit x*y = 1 + b*n, x*y - b*n = 1. Also sind x und n teilerfremd. q.e.d.


Das Problem ist, dass du obigen Satz vermutlich nicht kennst, wenn du im ersten Semester bist. In dem Fall ist wirklich Ausprobieren die beste Loesung fuer deine Aufgabe.
mausi201 Auf diesen Beitrag antworten »

so rechne ich doch die restklassen aus oder???für Z/8Z
a/8=b+r
8/8=1+0 Die Zahl 8 gehört zur Restklasse 0, da sie bei Division durch 8 den Rest 0 läßt.
9/8=1+1 Die Zahl 9 gehört zur Restklasse 1, da sie bei Division durch 8 den Rest 1 läßt.
.
.
.
15/8=1+7 Die Zahl 15 gehört in die Restklasse 7, da sie bei Division durch 8 den Rest 7 läßt.
16/8=2+0 Die Zahl 16 gehört wieder zur Restklasse 0, da sie bei Division 8 den Rest 0 läßt.

Man stellt dies folgendermaßen dar:
_
0 = {0; 8; 16; 24; 32; ...} - für die Restklasse 0
_
1 = {1; 9; 17; 25; 33; ...} - für die Restklasse 1
_
2 = {2; 10; 18; 26; 34; ...} - für die Restklasse 2
.
.
.
_
7 = {7; 15; 23; 31; 39; ...} -für die Restklasse 7
so wie funktioniert das jetzte nochma für "DOOFE" verwirrt mit der inversen
mausi201 Auf diesen Beitrag antworten »

funktioniert das mit dem inversen über Additions und Multiplikationstafeln???
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder das, oder du suchst (bei Z/n) einfach eine ganze Zahl x, die mit y (aus {0,...,n-1}) multipliziert, den Rest 1 bei Division durch n laesst. Die Restklasse von x ist dann das Inverse von y in Z/n.

Ich rechne dir das mal am Beispiel von Z/6Z ganz ausführlich vor:

1. Schritt:
Die Zahlen 0,2,3,4 haben kein Inverses:
Angenommen, 0 hätte ein Inverses, dann gälte 0y = 6m + 1, wobei m, y aus Z sind. Umformen und ausklammern ergibt 2*(0y - 3m) = 1. Damit wäre 2 ein Teiler der 1. Widerspruch.
Angenommen, 2 hätte ein Inverses, dann gälte 2y = 6m + 1, wobei m, y aus Z sind. Damit wäre 2 ein Teiler der 1. Widerspruch.
Angenommen, 4 hätte ein Inverses, dann gälte 4y = 6m + 1, wobei m, y aus Z sind. Damit wäre 2 ein Teiler der 1. Widerspruch.
Angenommen, 3 hätte ein Inverses, dann gälte 3y = 6m + 1, wobei m, y aus Z sind. Damit wäre 3 ein Teiler der 1. Widerspruch.

2. Schritt:
Es ist
1*1 = 0*6 + 1,
5*5 = 4*6 + 1.
Damit ist 5 das Inverse von 5 in Z/6 und 1 das Inverse von 1 in Z/6 (wer hätte das gedacht, wo doch 5 die -1 in Z/6 ist). smile



Analog gehst du bei Z/8 vor. Bei Z/7 findest du für jedes Element ausser der 0 ein Inverses.
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