Abstand 2 Windschiefer geraden geht nicht

06.03.2006, 16:01

Marian...:(

Abstand 2 Windschiefer geraden geht nicht

abstand zwischen 2 windschiefer gerade geht nicht.
also ich solls mit vektorkette machen

Geraden sind folgende:
[7, 7, 4] + t [1, -2, 6]

und
[-3, 0, 5] + k[1, 0, 2]

so nun nehme ich das kreuzprodukt der beiden richtungsvektoren und teile durch dessen betrag um den einheitsrichtungsvektor des lotes zu erhalten

kommt raus [-2/3, 2/3, 1/3]

nun denn,
ich forme ein Gleidchungssystem und dieses ist nicht lösbar. auch nicht mit derive. Wo ist der Wurm drin?

06.03.2006, 16:02

Marian...:(

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Die vektor ketten die ich nehme sind folgende:

[-3, 0, 5] + k[1, 0, 2] + L[-2/3, 2/3, 1/3] = [7, 7, 4] + m[1, -2, 6]

06.03.2006, 16:16

marci_

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also du musst das kreuzprodukt der richtungsvektoren bestimmen und dann 2 ebenen aufstellen...
einmal mit dem normalenvektor und dem stützvektor der einen, dann mit dem stützvektor der anderen geraden...
bringe die ebenen auf hessische normalenform und setzte den punkt (0/0/0) ein...
dann siehst du, welchen abstand die beiden ebenen, also geraden von einander haben=)

06.03.2006, 16:17

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([7, 7, 4] - [-3, 0, 5])*n0=2.33

06.03.2006, 16:21

Marian...:(

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ich verstehe das nciht.

also ich soll das definitiv mit vektorketten machen!

aber wo ist mein fehler....ich verstehe das nicht
Bitte helft mir

06.03.2006, 16:59

mYthos

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RE: Abstand 2 Windschiefer geraden geht nicht

Zitat:

Original von Marian...
abstand zwischen 2 windschiefer gerade geht nicht.
also ich solls mit vektorkette machen

Geraden sind folgende:
[7, 7, 4] + t [1, -2, 6]

und
[-3, 0, 5] + k[1, 0, 2]

so nun nehme ich das kreuzprodukt der beiden richtungsvektoren und teile durch dessen betrag um den einheitsrichtungsvektor des lotes zu erhalten

kommt raus [-2/3, 2/3, 1/3]

nun denn,
ich forme ein Gleidchungssystem und dieses ist nicht lösbar. auch nicht mit derive. Wo ist der Wurm drin?

Du bist auf dem richtigen Weg (nur: Welches Gleichungssystem hast du geformt?). Nur musst du den eben berechneten Einheitsrichtungsvektor des Lotes noch skalar mit dem Differenzvektor der Anfangspunkte der beiden Geraden multiplizieren und den Betrag davon nehmen und du bist fertig:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

Der Grund dieser Maßnahme ist der, dass das skalare Produkt zweier Vektoren gleich dem Betrag des einen Vektors mal der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor ist. In diesem Falle wird der Differenzvektor der beiden Anfangspunkte auf den normierten Lotvektor (dessen Betrag gleich 1 ist) projiziert und erzeugt dort direkt den gesuchten Abstand d.

Gr
mYthos

06.03.2006, 18:37

Marian...:(

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oki, aber ich brauche doch auch die lotfußpunkte unglücklich

06.03.2006, 20:09

mYthos

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OK. Wenn nur der Abstand gefragt ist, dann geht's wie beschrieben.

Ausser über den rein geometrischen Lösungsweg sind die Endpunkte G und H des Gemeinlotes und gleichzeitig der Abstand allerdings auch mit der Methode des geschlossenen Vektorzuges gut zu ermitteln:

Wir nehmen G auf der ersten und H auf der zweiten Gerade an und die Parameter, wie man zu diesen gelangt, belassen wir mit t, k. Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{HG} \end{eqnarray*}$ ist d mal dem Normaleneinheitsvektor, wobei d die Distanz GH ist:

$\begin{eqnarray*} \vec{HG} = d \cdot \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + d \cdot \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeilenweise angeschrieben erhalten wir ein LGS in den drei Variablen t, k, d:

$\begin{eqnarray*} t - \frac{2}{3}d = 10 + k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}d = 7 - 2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2t + \frac{1}{3}d = -1 + 6k \end{eqnarray*}$
----------------------------------------
$\begin{eqnarray*} d = -\frac{7}{3}; \ t = \frac{229}{18}; \ k = \frac{77}{18} \end{eqnarray*}$

Mittels t und k erhalten wir nach Einsetzen in die entsprechenden Geradengleichungen die gesuchten Lotfußpunkte G und H, der Betrag von d ist wiederum der Normalabstand.

Gr
mYthos

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