Vektorfeld Integrieren |
| 06.03.2006, 16:45 | hirschMeister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektorfeld Integrieren habe mir schon einige Informationen aus diesem Board holen können. Doch bei meiner jetzigen Angelegenheit finde ich leider nichts! Ich soll ein Vektorfeld integrieren! z.B.: v(x,y,z) = (2x + 2z, z^2, 2x + 2yz) Nun soll ich die Stammfunktion davon bilden! Durch rumprobieren würde ich schon irgendwann auf die richtige Stammfkt. kommen aber mir fehlt hier ein strukturierter Vorgang! Könnt ihr mir dabei vielleicht helfen? Wie gehe ich hier am besten vor? Beste Grüße hirschMeister |
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| 06.03.2006, 17:21 | Horschie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, also die erste Idee die ich dazu hätte wäre, daß man das erste Element nach x, daß zweite nach Y und das Drtte nach z integriert. Hast du die Lösung für das gegebene Vektorfeld? Gruß Chridtoph |
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| 06.03.2006, 17:29 | hirschMeister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Lösung ist F(x,y,z) = x^2 + 2xy + z^2y Man integriert V1 zuerst nach x. Aber dann die weiteren Schritte um mögliche Konstanten zu bestimmen oder auszuschließen sind mir nicht klar! So ne Schritt für Schritt Anleitung wär 1A für mich aber die hab ich bishe rnirgends gefunden! Gruß |
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| 06.03.2006, 19:03 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du integrierst jede Komponente einzeln wie schon gesagt. Dann erhälst du 3 Darstellungen von F wobei die Konstante jeweils von den Variablen abhängen kann nach denen du nicht integriert hast: (1) F = x² + 2xz + c(y,z) (2) F = yz² + c(x,z) (3) F = yz² + 2xz + c(x,y) Wenn du jetzt z.B. (1) partiell nach y ableitest erhälst du: F/y = c/y = z^2 Das ganze wieder nach y integrieren ergib: c(y,z) = yz² + c(z) -> F = x² + 2xz + yz² + c(z) (Die Konstante die beim Integrieren entsteht hängt eventuell noch von z ab) Jetzt (1) nochmal nach z ableiten: F/z = 2x + 2yz + c/z = 2x + 2yz -> c/z = 0 Das heißt c(z) ist konstant. -> F = x² + 2xz + yz² + c Edit: Mir ist gerade noch aufgefallen das man (2) und (3) bei dieser Vorgehensweise natürlich nicht braucht 
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| 08.03.2006, 15:49 | hirschMeister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, also das kann ich nicht ganz nachvollziehen: Wenn du jetzt z.B. (1) partiell nach y ableitest erhälst du: F/y = c/y = z^2 ..versteh ich nicht. Wenn du nach y ableitest kommst du auf z^2 ??? Mir ist das ganze Verfahren das du hier anwendest nicht ganz klar. Könnest du mir das ein wenig verdeutlichen, bitte? MfG |
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| 08.03.2006, 16:02 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klar
Gegeben war ja v(x,y,z) = (2x + 2z, z^2, 2x + 2yz). Das ist nichts anderes als v(x,y,z) = (F/x, F/y, F/z). Also ist z.B. F/y = z^2. Deine Aufgabe ist ja jetzt F zu finden falls es existiert. Zunächst integrieren wir F/x also die erste Komponente und erhalten F = x² + 2xz + c(y,z). Jetzt nach y partiell ableiten ergibt zunächst wie schon gesagt F/y = c/y. Das kennen wir aber schon von oben : F/y = z^2 usw. |
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| 08.03.2006, 17:22 | hirschMeister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, hatte in deinem letzten Beitrag etwas missverstanden! Jetzt leuchtets ein!
Riesengroßes DANKESCHÖNGruß |
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| 08.03.2006, 17:35 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@hirschMeister Der mir etwas fremde Ausdruck "Vektorfeld integrieren / Stammfunktion" in diesem Zusammenhang hier suggeriert, das die eben erklärte Prozedur für jedes (einigermaßen vernünftige) Vektorfeld klappt. Mitnichten: Es klappt eben nur für Gradientenfelder, und üblich ist eher die Formulierung "Potential eines Gradientenfeldes bestimmen". |
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| 08.03.2006, 22:42 | hirschMeister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die restlichen Vektorfelder gibt es dann keine Stammfunktionen nehm ich an?! Deswegen teste ich davor auch ob rot(v)=0 ist! Sehe ich das richtig? |
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| 08.03.2006, 22:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Von welchen restlichen Vektorfeldern sprichst du jetzt? Ich sehe nur eins: v(x,y,z) = (2x + 2z, z^2, 2x + 2yz) |
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| 09.03.2006, 09:19 | hirschMeister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Davon rede ich. Du sagst, dass es eben nicht für jedes Vektorfeld auch eine Stammfunktion gibt! Für dieses eine Vektorfeld, welches ich oben angegeben habe ist die Bedingung rot(v)=0 erfüllt. Somt besitzt v(x,y,z) eine Stammfunktion, richtig? Jedes Vektorfeld, welches ein Potential besitzt kann ich nach diesem Schema integrieren, ja?! Gruß!! |
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