Bruchungleichung

06.03.2006, 20:58

scoRn

Bruchungleichung

Hallo Leute,
ich habe hier ein kleines Problemchen mit einer Bruchgleichung und mit dem Hauptnenner vielleicht könnt ihr mir da ja weiterhelfen. Hier einmal die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x+1}{4x-10} - \frac{5x-3}{6x-15} - \frac{7x+5}{10x-25} = \frac{8}{5} \end{eqnarray*}$

Ja dann wollte ich den HN bestimmen aber irgentwie bin ich nur bis dahin gekommen:

$\begin{eqnarray*} 2(2x-10) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3(2x+5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5(2x-5) \end{eqnarray*}$

so und nun weiß ich nicht mehr weiter (wenn meine Rechnung überhaut richtig ist)

Vielleicht könnt ihr mir ja erklären was ich da weiter tun muss.

Hab dann da noch was mit dem kgV veruscht und bin auf nen Hauptnenner von $\begin{eqnarray*} 30(2x-5) \end{eqnarray*}$ gekommen. Ist das korrekt ?

mfg scoRn

06.03.2006, 21:04

babelfish

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RE: Bruchungleichung

Zitat:

Original von scoRn
$\begin{eqnarray*} 2(2x-10) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3(2x+5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5(2x-5) \end{eqnarray*}$

was du hier gemacht has, weiß ich noch nicht so wirklich, aber dein hauptnenner:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 30(2x-5) \end{eqnarray*}$

ist soweit richtig!

06.03.2006, 21:10

scoRn

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ich habe die Nennen faktorisiert zumindestens habe ich es veruscht Big Laugh

Wenn ich jetzt den HN $\begin{eqnarray*} 30(2x-5) \end{eqnarray*}$ habe muss ich dann so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+1*30(2x-5)}{4x-10} \end{eqnarray*}$
das gleiche auch noch für den rest

Oder muss ich da noch was anderen machen ?
mfg scoRn

06.03.2006, 21:18

babelfish

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Zitat:

Original von scoRn
ich habe die Nennen faktorisiert zumindestens habe ich es veruscht Big Laugh

dann solltest du da nochmal drüber gucken...!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+1*30(2x-5)}{4x-10} \end{eqnarray*}$
das gleiche auch noch für den rest

äähm, ne!
du musst die einzelnen brüche nur mit den "komponenten" erweitern, die noch nicht im nenner vorhanden sind!
ich mach dir mal ein beispiel!

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{4x+8}+\frac{5}{6x+12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2(2x+4)}+\frac{5}{3(2x+4)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => HN: 2*3*(2x+4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2*3}{2*3*(2x+4)}+\frac{5*2}{3*2*(2x+4)} \end{eqnarray*}$

06.03.2006, 21:31

scoRn

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ei ei ich verzweifel bald traurig

muss das dann so aussehen :
$\begin{eqnarray*} \frac{3+1(3*5)}{2*3*5(2x-5)} \end{eqnarray*}$

hoffe hab das richtig dein beispiel hab ich eigentlich auch direkt verstanden.
Sind ja auch nur 2 Brüche Big Laugh

mfg scoRn

06.03.2006, 21:44

babelfish

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wo ist denn jetzt dein x im zähler hin?!

weißt du überhaupt, was erweitern bedeutet?
du kannst einen bruch erweitern, indem du zähler und nenner mit der gleichen zahl(/variable) multiplizierst. das funktioniert deshalb, weil du die beiden zahlen ja wieder rauskürzen könntest und du somit den wert des bruches nicht veränderst!
bei meinem beispiel war der hauptnenenr ja 2*3*(2x+4)
der erste nenner bestand aus: 4x+8=2(2x+8)
es fehlt also das *3
also erweiter ich den ersten bruch mit 3, indem ich zähler und nenner mit 3 multiplziere!
alles klar?

06.03.2006, 22:01

scoRn

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oh sry das x hatte ich vergessen.
Aber zu der Aufgabe also erweitere ich den ersten Bruch mit 3 ?
aber mit was erweitere ich den 2. und den 3. ?? hab doch da nur noch die 2 und die 5 !!??
Muss ich den zweiten Bruch mit 5 und den dritten mit 2 Erweitern ???
mfg scoRn

07.03.2006, 03:19

as_string

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Hallo!

Irgendwie scheinst Du ziemlich verwirrt zu sein... Aber keine Panik, sieht doch gar nicht so schlecht aus!
Mal sehen, ob man das nicht auch etwas systematischer hinbekommt. Die Nenner von Deinen Brüchen sind ja das hier gewesen:
1. Bruch: $\begin{eqnarray*} 2\left(2x-5\right) \end{eqnarray*}$
2. Bruch: $\begin{eqnarray*} 3\left(2x-5\right) \end{eqnarray*}$
3. Bruch: $\begin{eqnarray*} 5\left(2x-5\right) \end{eqnarray*}$
und die rechte Seite nicht vergessen, da ist es einfach eine 5.
Das alles zusammen gibt den Hauptnenner:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 3\cdot 5\left(2x-5\right) = 30\left(2x-5\right) \end{eqnarray*}$
so weit waren wir ja eigentlich schon... Jetzt aber das Erweitern der Brüche: Beim ersten hast Du ja schon 2 mal die Klammer drin, also fehlt nur noch die 3 und die 5. Das gibt zusammen 15. Umgekehrt: Wenn Du den ersten Nenner mit 15 multiplizierst, kommst Du genau auf den Hauptnenner. Genau damit mußt Du dann auch den Zähler multiplizieren, so dass der erste Bruch zu dem hier wird:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x+1}{2\left(2x-5\right)} = \frac{\left(3x+1\right)\cdot 15}{30\left(2x-5\right)} = \frac{45x+15}{30\left(2x-5\right)} \end{eqnarray*}$
Also nur Zähler und Nenner mit der 15 multipliziert, so dass man auf den Hauptnenner kommt. Das machst Du auch mit dem 2. und 3. Bruch und dann auch mit der anderen Seite! Die mußt Du mit 2*3*(2x-5) multiplizieren, damit die auch den selben Nenner hat, und zwar wieder sowohl Zähler und Nenner. Also hast Du rechts dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{8\cdot 6\left(2x-5\right)}{30\left(2x-5\right)} \end{eqnarray*}$
Wenn Du jetzt alle Nenner gleich hast, dann kannst Du mit dem Hauptnenner die gesamte Gleichung durchmultiplizieren, also eigentlich einfach nur die ganzen Nenner "weglassen". Aber Vorsicht! Der Nenner darf dabei natürlich nicht Null werden, was Du ja hättest, wenn 2x-5 Null werden. Du mußt also den Fall x=2,5 erstmal ausklammern, aber dafür ist die ursprüngliche Gleichung in diesem Fall auch nicht definiert...

Mach also mal einen Bruch nach dem anderen und dann mit Hauptnenner multiplizieren.

Gruß
Marco

07.03.2006, 12:09

scoRn

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ja so langsam kommt das auch in meinem Gehirn an aber nur langsam Wink

$\begin{eqnarray*} \frac{45x+15}{30(2x-5)}- \frac{50x-30}{30(2x-5)}- \frac{-42x+30}{30(2x-5)}= \frac{96x-240}{30(2x-5)} \end{eqnarray*}$
so wenn ich jetzt nicht noch nen rechenfehler hab stimmt das doch so oder ?

Dann muss ich doch noch der rechte Bruch nach links bringen !!??
Damit rechts 0 steht. So wenn ich das macht habe alles auf einen Bruchstrich schreiben und zusammenfassen. Stimmt das soweit ??
mfg scoRn

07.03.2006, 14:46

as_string

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Hallo!

Das sieht schon mal SEHR gut aus! Allerdings weiß ich nicht genau, wie Du das mit dem Vorzeichen im 3. Bruch gemacht hast. Ist das ein Tippfehler, oder habe ich da jetzt was übersehen? verwirrt

Ja, Das könntest Du so machen. Ich finde es aber deutlich angenehmer, das ganze jetzt mit dem Hauptnenner durch zu multiplizieren. Dann fällt der Nenner nämlich ganz weg! Allerdings da wieder Vorsicht mit den Vorzeichen! Wenn ein Minus vor einem Bruch ist, dann ist das so, wie wenn der Zähler geklammert wäre. Du mußt also die Vorzeichen von allen Summanden des Zählers rumdrehen, nicht nur das Minus vor den ersten schreiben. Ich sage das nur, weil ich das auch gerne vergesse! Klo

Wenn Du durchmultipliziert hast, dann ist es ja eine ganz normale Polynomgleichung. Das geht dann wieder nach Fahrplan.
Also nächste Schritte: nochmal alle Vorzeichen checken, vor allem vom 3. Bruch und dann mit dem Hauptnenner multiplizieren. Dann geht's weiter!

Gruß
Marco

07.03.2006, 16:23

scoRn

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oh sorry das mit dem - war mein fehler .
Aber was meinst du genau mit dem durchmultiplizieren ?

$\begin{eqnarray*} \frac{45x+15*30(2x-5)}{30(2x-5)} \end{eqnarray*}$

oder so :

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+1*30(2x-5)}{30(2x-5)} \end{eqnarray*}$
bin na nen bisschen verplant kenn das nur anders würds aber gerne ma probiern
mfg scoRn

07.03.2006, 16:58

as_string

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Hallo!

Nee, das hast Du falsch verstanden, macht aber nix!
Ich meinte nur: beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren. Wenn Du z. B. die linke Seite mit dem Hauptnenner multiplizierst (also nicht die Brüche erweiterst, sondern einfach nur die einzelnen Summanden, also die einzelnen Brüche, mit dem HN multiplizierst), dann fallen jeweils einfach die Nenner weg. Das ist ja der eigentliche Sinn, wenn man versucht einen HN zu finden. Du hast dann nur noch:
$\begin{eqnarray*} \left(45x+15\right) - \left(50x-30\right) - \left(42x+30\right) = 96x-240 \end{eqnarray*}$
Jetzt mußt Du noch die Klammern auflösen und dabei auf die Vorzeichen aufpassen und dann alle Summanden mit x und alle konstanten Summanden zusammen fassen... und fertig!

Gruß
Marco

07.03.2006, 17:30

scoRn

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ah wunderbar jetzt habe ich das verstanden smile

Dann will ich mich mal bei euch allen die mir geholfen haben bedanken smile

mfg scoRn

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