Z[i] euklidischer Ring

11.06.2008, 16:44

pi_mal_Daumen

Z[i] euklidischer Ring

Hallo ihr! Wink

Ich grübel gerade mal wieder an einer Aufgabe, bei der ich noch nicht so recht weiter weiß.

Zunächst einmal die Aufgabe:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] = \{x+iy | x, y \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ ein euklidischer Ring ist
(Hinweis: Für alle $\begin{eqnarray*} z = x+iy \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} v(z) = z\overline{z} = |z|^2 = x^2+x^2 \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} v(z_1z_2) = v(z_1)v(z_2) \end{eqnarray*}$ . Warum gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v(z-q) < 1 \end{eqnarray*}$ ?)

Jetzt will ich erstmal ordnen, womit ich überhaupt Anfangen soll, bzw. was überhaupt von mir gefordert wird.

In der Vorlesung haben wir gesagt, dass ein Integritätsring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ euklidisch ist, falls eine Abbildung $\begin{eqnarray*} v: R \rightarrow \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} v(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , so dass die folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu $\begin{eqnarray*} a, b \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ existieren $\begin{eqnarray*} q, r \in R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} b = qa + r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(r) < v(a) \end{eqnarray*}$ .

Und solch eine Abbildung wird dann euklidische Normfunktion genannt.

Laut Hinweis habe ich diese Normfunktion ja nun bereits gegeben. Bedeutet das jetzt, dass ich zu $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{Z}[i], a \neq 0 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} q, r \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ finden muss, sodass bei $\begin{eqnarray*} r = r_1 + ir_2 \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ dann gelten muss $\begin{eqnarray*} v(r) = r_1^2 + r_2^2 < (irgendetwas) \end{eqnarray*}$ Ist?
Doch was könnte dieses irgendetwas sein? Genau hier weiß ich irgendwie nicht weiter.

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann Gott

11.06.2008, 16:56

kiste

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ bildet doch ein Gitter in den komplexen Zahlen. Wenn du jetzt eine beliebige komplexe Zahl z nimmst und dann einen Kreis mit Radius 1 um sie malst ist innerhalb dieses Kreises mindestens ein Element aus Z[i]. Das ist das gesuchte q

11.06.2008, 17:06

pi_mal_Daumen

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Hallo!

Ich habe mir das jetzt mal aufgemalt... Aber wieso muss denn IN dem Kreis um den Punkt mit dem Radius 1 ein weiteres Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ liegen? Liegen die nicht genau AUF dem Kreis?
Leider sehe ich gerade noch nicht genau den Zusammenhang.

11.06.2008, 17:24

kiste

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Wenn du ein Element von Z[i] nimmst dann liegen natürlich weitere genau auf dem Kreis. Nimmst du allerdings ein bel. Element aus C so liegen Elemente aus Z[i] im Kreis

11.06.2008, 17:41

pi_mal_Daumen

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Ahhh... okay! Für ein bel. Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Okay! Das leuchtet mir jetzt ein Augenzwinkern

Ich muss also irgendwie die Existenz dieses q beweisen. Aber irgendwie habe ich da so meine Probleme, das ganze in einen formalen Rahmen bekommen.

Irgendwie muss ich ja anfangen, wobei ich nun nicht genau weiß, wie ich den Hinweis dort einbauen kann. Nach Definition würde ich so loslegen:

Sei $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{Z}[i], a \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \exists q, r \in \mathbb{Z}[i] : b = qa+r, v(r) < v(a) \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} b = qa+r \Leftrightarrow \frac{b}{a} = q + \frac{r}{a} ... \end{eqnarray*}$

Aber ich sehe wirklich noch nicht so recht den Zusammenhang unglücklich

11.06.2008, 19:31

pi_mal_Daumen

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Ich habe jetzt eine Bemerkung aufgeschnappt, die ich aber noch nicht so recht verstehen will. So lautet wie folgt:

Zur Charakterisierung der Division mit Rest in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ betrachte man, dass der Abstand benachbarter Punkte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ höchstens $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ beträgt. Zu $\begin{eqnarray*} f, g \in \mathbb{Z}[i], g \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt es daher $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |fg^{-1} - (x+iy)| \leq \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} < 1 \end{eqnarray*}$
Setzt man nun $\begin{eqnarray*} q .= (x+iy), r:= f-qg \end{eqnarray*}$ , so hat man $\begin{eqnarray*} |r| < |g| \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f = qg + r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v(r) < v(g) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ .

Nur da ich es noch nicht so recht verstehe, es aber verstehen will, hoffe ich, dass mir das noch einer genauer erklären kann.

Also... Der Abstand benachbarter Punkte erkläre ich mir so: Wenn ich mir die Gaußsche Zahlenebene als kariertes Blatt vorstelle, dann sind die Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ ja die Punkte, wo sich zwei Linien Kreuzen. Zwei "waagerechte" Nachbarpunkte haben den Abstand 1, zwei "diagonale" Nachbarpunkte dagegen nach Pythagoras den Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Könnte man das so sagen?

Nehme ich nun also an, dass ich diese Zwei Punkte $\begin{eqnarray*} f, g \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ habe, wobei $\begin{eqnarray*} g \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wie kommt denn dann diese Zeile zustande?: $\begin{eqnarray*} |fg^{-1} - (x+iy)| \leq \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} < 1 \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass vorher etwas wie $\begin{eqnarray*} f = qg + r \end{eqnarray*}$ gegelten hat, dann durch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ geteilt wurde (Darf ich das auf Grund des Ringes überhaupt?). Danach wurde dann noch $\begin{eqnarray*} -q \end{eqnarray*}$ gerechnet.

So ganz genau ist mir das aber noch nicht klar. Vll. kann mir ja noch wer ein paar Hinweise geben Augenzwinkern

11.06.2008, 19:39

therisen

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Zitat:

Original von pi_mal_Daumen
Also... Der Abstand benachbarter Punkte erkläre ich mir so: Wenn ich mir die Gaußsche Zahlenebene als kariertes Blatt vorstelle, dann sind die Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}<i> \end{eqnarray*}$ ja die Punkte, wo sich zwei Linien Kreuzen. Zwei "waagerechte" Nachbarpunkte haben den Abstand 1, zwei "diagonale" Nachbarpunkte dagegen nach Pythagoras den Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Könnte man das so sagen?

Ja.

Zitat:

[i]Original von pi_mal_Daumen
Nehme ich nun also an, dass ich diese Zwei Punkte $\begin{eqnarray*} f, g \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ habe, wobei $\begin{eqnarray*} g \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wie kommt denn dann diese Zeile zustande?: $\begin{eqnarray*} |fg^{-1} - (x+iy)| \leq \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} < 1 \end{eqnarray*}$

Das ist einfach: $\begin{eqnarray*} fg^{-1} \end{eqnarray*}$ ist irgendein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene. Mal dir mal irgendwo einen Punkt in dein kariertes Blatt. Dann gibt es doch eine Ecke (Schnitt zweier Kanten), die hiervon "kürzesten" Abstand hat.

11.06.2008, 20:14

pi_mal_Daumen

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Ah! Ok! Anschaulich ist mir das wieder klar!

Der Abstand ist dann ja so ziemlich genau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , wenn der Punkt genau in der Mitte eines Kästchens liegt. Wenn er auch nur ein kleines wenig von dieser Mitte abweicht, wird er kleiner zu einem der 4 Eckpunkte. Klingt logisch Augenzwinkern

Dann versuch ich mich jetzt mal dran, das ganze in einen formalen Rahmen zu schreiben.

Kann ich wohl von der Aufgabenstellung direkt davon ausgehen, dass zu zeigen ist, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{c} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} v(z-q) < 1 \end{eqnarray*}$ , oder soll das wohl heissen, dass ich mich bis dahin mit der Definition noch durchkämpfen soll?

Danke auf jeden Fall schonmal für die Erklärungen Augenzwinkern

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