stetige Fortsetzungen

07.03.2006, 18:59	Mirco	Auf diesen Beitrag antworten »
stetige Fortsetzungen Hallo, ich brauche Hilfe zu einer gelösten Aufgabe. ich verstehe nicht, wie der Lehrer darauf kam - haben stetige Fortsetzungen das erste Mal gemacht. Funktion: f(x)= $\begin{eqnarray} \frac{x^2+a}{x+1} \end{eqnarray}$ Lösung im Bezug auf die Fortsetzungen: wenn a = -1 f(x) = $\begin{eqnarray} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)} = x-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-1) = -2 \end{eqnarray*}$ Nimmt man einfach mal die Zahl - 1 oder hat das etwas mit den Nullstellen zu tun?
07.03.2006, 19:05	Mirco	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstellen: f(x) = 0 $\begin{eqnarray} 0= \frac{x^2+a}{x+1} \end{eqnarray}$ 0= x^2 + a I -a -a = x^2 x1,2= $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{-a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a<0<br /> <br /> Nullstelle: a=0<br /> a<0 : keine Nullstellen<br /> a>0: 1 Nullstelle \end{eqnarray}$
07.03.2006, 19:06	Mirco	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaub die letzte zeile konnte man nicht erkennen: a<0 Nullstelle: a=0 a<0 : keine Nullstellen a>0: 1 Nullstelle
07.03.2006, 19:52	as_string	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich blicke zwar bei Deinem Latex-Chaos nicht so ganz durch... aber ich weiß auch nicht so recht, was genau Deine Frage ist: Weißt Du, wann eine Funktion in einer bestimmten Stelle stetig ist und wann nicht? An welcher Stelle könnte Deine Funktion nicht stetig sein? Wann kann man für eine solche unstetige Stelle eventuell eine stetige Fortsetzung finden? Wie kann man eine solche berechnen? Ist da eine Frage vielleicht dabei, die wir Dir beantworten könnten? Gruß Marco
07.03.2006, 19:57	Mirco	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Danke für eine Antwort. Richtig, zum ersten würde ich gerne wissen, wann überhaupt eine Funktion stetig ist; ist meine genannte Funktion nicht bei -2 stetig? So haben wir das zumindest ausgerechnet...
07.03.2006, 19:58	Mirco	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, oder ist das so, dass durch die Lösung -2 besagt wird, dass die Funktion stetig fortsetzbar ist???
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08.03.2006, 19:19	as_string	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Also an der Stelle (x-Wert) -2 ist sie stetig, hat ja auch nie jemand irgendetwas anders behauptet... Die Definition von stetig geht so, dass an einem Punkt sowohl der linksseitige Grenzwert also auch der rechtsseitige als auch der Funktionswert an dieser Stelle alle definiert und endlich sein müssen und auch den selben Wert (y-Wert, nicht verwechseln mit Stelle/x-Wert) haben müssen. Bei Deiner Funktion hast Du jetzt das Problem, dass der Nenner an der Stelle (wieder x-Wert) x=-1 null wird und deshalb der Funktionswert hier gar nicht definiert ist! Deshalb kann diese Funktion gar nicht stetig sein, weil ein definierter Funktionswert ja schonmal eine der Vorraussetzungen für Stetigkeit an einer bestimmten Stelle war. Jetzt kann es aber sein, dass der links-/rechtsseitige Grenzwert beide eine reelle Zahl ergeben und auch ganz normal definiert sind, z. B. laufen alle auf den y-Wert -2 zu, wer weiß... Bei so einer gebrochenrationalen Funktion kann das aber nur dann passieren, wenn an der Stelle, an der der Nenner null wird auch der Zähler null wird, sonst gehen die Funktionswerte in der Umgebung der Unstetigkeitsstelle (also in der Nähe von x=-1) gegeben plus oder minus Unendlich. Um das zu erreichen, habt Ihr den Parameter a so bestimmt, dass Zähler auch genau bei der Stelle x=-1 eine Nullstelle hat, also das hier ausgerechnet: $\begin{eqnarray} x^2+a = 0 \text{ bei } x=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+a = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ Damit habt Ihr eine ganz neue Funktion bekommen: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x²-1}{x-1} \end{eqnarray}$ Die hat jetzt sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Nullstelle. So etwas macht Hoffnung, dass es bei der Unstetigkeit bei der Stelle x=-1 sich vielleicht nicht um eine Polstelle handeln muß sondern um eine behebbare Lücke! Und in der Tat kann man den Bruch umformen und letztendlich kürzen, wenn man schlau genug ist: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x²-1}{x-1} = \frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1} = x-1 \end{eqnarray}$ Diese neue Funktion hat aber gar keinen Nenner mehr und ist auch überall wunderbar definiert und auch überall stetig! Außerdem liefert sie für jeden x-Wert den selben y-Wert wie die ursprüngliche Funktion auch, nur dass sie darüber hinaus noch einen an der vorher undefinierten Stelle x=-1 liefern kann. Wenn man das bei der neuen Funktion nämlich einsetzt, bekommt man $\begin{eqnarray} f(-1) = x-1 = -1 -1 = -2 \end{eqnarray}$ raus, was Ihr ja auch noch ausgerechnet habt. Allerdings weiß ich nicht, was jetzt genau Deine Frage war und deshalb auch nicht, ob diese Antwort Deine Frage beantworten konnte... Gruß Marco

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