Wertemenge

07.03.2006, 20:22

Wertemenge

Hallo!

ich sitz vor einer probeklausur, die von mir verlangt, dass ich die Wertemengen der funktion bestimme...

in einfachen worten wird da doch das gesucht, was fuer die funktion alles bei y herauskommen kann, oder?

die funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2 ; x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

so nun habe ich mir gedacht, ich bestimme einfach die lokalen extremstellen, suche das minimum aus, bei dem der niedrigste funktionswert herauskommt, und sage, dass alles, was groeßer als dieser wert ist, die Wertemenge ist.

Geht das denn nich anners? weil wir haben im Kurs noch nich das mit Extremalproblematik gemacht und demnahc denke ich, das soll auch anders gehen....
kann mich jmd auf den richtigen weg bringen? also die funktion sieht so aus.

edit:...wie kann ich den die funktionsgraphen richtig anzeigen? wenn das ueberhaupt geht...also bei mir gehts ja nur als anhang ^^

07.03.2006, 20:35

-felix-

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Deine Idee ist zwar gut, aber Achtung, mit den lokalen Extremstellen ist es nicht getan. Diese heißen nämlich lokal, weil die Funktion in einer gewissen Umgebung dieser Stellen keine größeren oder kleineren Werte annimmt, es aber trotzdem noch Stellen geben kann, an denen die Funktion noch größere bzw kleinere Werte annehmen kann.
Das heißt, du musst zusätzlich noch die Randstellen des Definitionsbereichs beachten, dein Definitionsbereich ist hier aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also musst du $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ betrachten und kannst dann die Wertemenge angeben.

07.03.2006, 20:52

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aeh...wie genau macht man das da?

ich habe bisher einfach ma so...einige werte eingesetzt fuer x...und immer diese groeßer werden lassen...und wenn der funktionswert dann auch groeßer wird...laeuft der auch ggn unendlich...genauso hab ichs mit dem minus unendlich gemacht...

aba das is wahrscheinlcih die "ausprobier-variante" die nich gut ist oder? weil dadurch kann ich auch nich wirklich die wertemenge finden...oder habe ich etwas uebersehen^^

07.03.2006, 21:03

-felix-

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ich würde sagen, diese variante ist ziemlich gut, für schulniveau sollte es locker reichen. auch wenn ihr noch nicht das verhalten ganzrationaler funktionen für x gegen unendlich besprochen habt, so bist du doch über probieren zu dem richtigen ergebnissen gekommen. also für
$\begin{eqnarray*} x \to \infty \text{ gilt } f(x) \to ?? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \to -\infty \text{ gilt } f(x) \to ?? \end{eqnarray*}$
Schreibe dies nochmals ordentlich auf (ersetze die ??), achte insbesondere auf die Vorzeichen. Überlege dir dann, welcher der größte Funktionswert ist, den die Funktion annehmen kann bzw ob es überhaupt so einen gibt und entsprechend für den kleinsten und gib dann die Wertemenge an.

08.03.2006, 08:37

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also

$\begin{eqnarray*} x\to +\infty \text{gilt}f(x)\to +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\to -\infty \text{gilt}f(x)\to +\infty \end{eqnarray*}$

aba den teil mit niedrigster punkt etc kann ich mir noch nich ganz genau vorstellen...das war doch jetz nich die lokale extremstelle...

ich wuerde sagen erst einmal $\begin{eqnarray*} \text{W}_f= x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

aba mehr kann ich bisher leider auch nich sagen...

08.03.2006, 08:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von TB
aba den teil mit niedrigster punkt etc kann ich mir noch nich ganz genau vorstellen...das war doch jetz nich die lokale extremstelle...

Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst.
Also an den Rändern entschwindet die Funktion nach +unendlich. Also mußt du dir die lokalen Minima anschauen. Wo dort die Funktion den kleinsten Wert hat, dort ist dann auch das absolute Minimum.

08.03.2006, 09:27

Frooke

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Zitat:

Original von TB
$\begin{eqnarray*} \text{W}_f= x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn überhaupt müsstest Du schreiben:

$\begin{eqnarray*} \text{W}_f= y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Und nach der Überprüfung der Limiten hat sich ja ergeben, dass

$\begin{eqnarray*} \text{W}_f=[\operatorname{min}(f(x));\infty) \end{eqnarray*}$

der Wertebereich ist. Nur noch das Minimum (das niedrigere) einsetzen und fertig. Augenzwinkern

08.03.2006, 11:15

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also doch ueber die lokale extremstellenerrechnung? und dann alles, was groeßer ist?

sprich bei

W $\begin{eqnarray*} _f=[y\geq 7] \end{eqnarray*}$

den an dieser stelle ist der funktionswert am kleinsten...das hab ich grafisch gesehn...und ansonsten ... erste ableitung gleich null setzen...nach x aufloesen und danan in die zweite ableitung einsetzten, und das kleinere minumum auswaehlen

08.03.2006, 11:30

Frooke

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Es wäre -7. Ausserdem musst Du keine Intervallklammern setzen, wenn Du kein Intervall hinschreibst. Du darfst aber schreiben:

$\begin{eqnarray*} W_f=\left\{y|y\geq-7\right\} \end{eqnarray*}$

08.03.2006, 16:23

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HAHA stimmt...ohmann fluechtigkeitsfehler ^^

aba geht das denn nur ueber die lokale extermstelle oder geht das auch anners? weil ich glaub kaum, dass ich dem dann sagen kann

W $\begin{eqnarray*} _f=\mathbb R^{+}_0 \end{eqnarray*}$

weil das is relativ ungenau....und das mit den lokalen extremstellen gabs bei uns halt noch nich ^^

aba ok,wenns nur durch limitiertes ausprobieren geht und dann die lokale extremstelle, dann von mir aus ^^

08.03.2006, 17:40

Frooke

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Zitat:

Original von TB
W $\begin{eqnarray*} _f=\mathbb R^{+}_0 \end{eqnarray*}$

Das ist nicht nur ungenau, das ist falsch! Ungenau wäre

$\begin{eqnarray*} W_f=\mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn Du aber den kleinstmöglichen Wertebereich angeben willst, musst Du das über die Extrema machen. Alternativ kannst Du eine Funktion umkehren und dann deren Definitionsbereich angeben... Aber das ist oft aufwendiger...

08.03.2006, 20:32

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das das falsch is, ist mir schon klar...^^, ne spaß, ich hab ja schon herausgefunden, wo der tiefste punkt ist...

nur ich meinte das so, dass man darauf haette kommen koenen,wenn man limitiert. ggn + und - unendlich kam beide mal + unendlich raus...deswgen haette man EIGTL ja auf die positiven reelen zaheln kommen koenen Augenzwinkern

08.03.2006, 21:15

Frooke

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Wenn das Minimum 0 wäre hättest Du auch recht smile

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