Alternierende multilineare Abbildung

12.06.2008, 18:24

Romaxx

Alternierende multilineare Abbildung

Hallo,

folgende Aufgabenstellung:

Eine multilineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f : V^{×k}\to W \end{eqnarray*}$ heißt alternierend, falls $\begin{eqnarray*} f(v_1, . . . , v_k) = 0 \end{eqnarray*}$ ist für
jedes linear abhängige $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1, . . . , v_k) \end{eqnarray*}$ von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i\in V \end{eqnarray*}$ .

(a) Zeigen Sie, dass eine $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache multilineare Abbildung genau dann alternierend ist, wenn
$\begin{eqnarray*} f(v_1, . . . , v_k) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, sobald zwei der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ gleich sind.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache multilineare Abbildung.
Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ alternierend ist genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f(v_1, . . . , v_k) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, sobald mindestens zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i\in V \end{eqnarray*}$ gleich sind.

Sei $\begin{eqnarray*} (v_1, . . . ,v_n,v_{n+1},. . . , v_k) \in V^{×k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Tupel, so dass $\begin{eqnarray*} v_n=v_{n+1} \end{eqnarray*}$ und alle anderen $\begin{eqnarray*} v_i\in V \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.

Für die eine Richtung sei f nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache alternierende, multilineare Abbildung, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(v_1, . . . ,v_n,v_{n+1},. . . , v_k)=-f(v_1, . . . ,v_{n+1},v_n,. . . , v_k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(v_1, . . . ,v_n,v_{n+1},. . . , v_k)+f(v_1, . . . ,v_{n+1},v_n,. . . , v_k)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2\cdot f(v_1, . . . ,v_n,v_{n+1},. . . , v_k)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(v_1, . . . ,v_n,v_{n+1},. . . , v_k)=0 \end{eqnarray*}$

Die andere Richtung liest sich rückwärts.

$\begin{eqnarray*} \fbox{} \end{eqnarray*}$

Was mir an der Sache noch nicht gefällt, ist die Rückrichtung (vielleicht liegts auch an der Formulierung der Aufgabe, was mich daran zweifeln lässt).

Eine multilineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f : V^{×k}\to W \end{eqnarray*}$ heißt alternierend, falls $\begin{eqnarray*} f(v_1, . . . , v_k) = 0 \end{eqnarray*}$ ist für jedes linear abhängige $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1, . . . , v_k) \end{eqnarray*}$ von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i\in V \end{eqnarray*}$ .

Das heisst doch, ich müsste für die Rückrichtung unter der Voraussetzung, dass mindestens zwei Vektoren gleich sind und das Tupel unter der Abbildung Null ist, diese Aussage zeigen.

Wie mache ich das aber, wenn ich als Voraussetzung mindestens zwei gleiche Vektoren im Tupel haben soll.

Eine Idee wäre, dass ich sage, dass ich durch multiplizieren eines Skalares $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ daraus jedes linear abhängiges Tupel erzeugen kann.

$\begin{eqnarray*} \lambda f(v_1, . . . ,v_n,v_{n+1},. . . , v_k) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(v_1, . . . ,\lambda v_n,v_{n+1},. . . , v_k) = 0 \end{eqnarray*}$

Wäre um eure Kommentare zur Lösung und zu der Sachlage die mich etwas stutzig macht sehr dankbar.

Gruß

12.06.2008, 19:38

Leopold

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RE: Alternierende Multilinearform

Zitat:

Original von Roman Föll
Sei $\begin{eqnarray*} (v_1, . . . ,v_n,v_{n+1},. . . , v_k) \in V^{×k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Tupel, so dass $\begin{eqnarray*} v_n=v_{n+1} \end{eqnarray*}$ und alle anderen $\begin{eqnarray*} v_i\in V \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.

Zunächst einmal betrachtest du nur benachbarte Vektoren, die gleich sind. Du mußt aber beliebige Paare von zwei gleichen Vektoren betrachten. Und dann ist über die anderen Vektoren nichts bekannt. Die brauchen nicht paarweise verschieden zu sein.

Du mußt ja die folgende Äquivalenz zeigen:

$\begin{eqnarray*} f(v_1,v_2,\ldots,v_k) = 0 \ \ \mbox{für alle} \ k \mbox{-Tupel} \ v_1,v_2,\ldots,v_k \ \mbox{linear abhängiger Vektoren} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v_1,v_2,\ldots,v_k) = 0 \ \ \mbox{falls} \ v_i = v_j \ \mbox{für} \ i \neq j \end{eqnarray*}$

Die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist trivial, denn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Tupel von Vektoren, in denen zwei Vektoren gleich sind, sind immer linear abhängig.

Und bei der Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ beachte, daß es bei linearer Abhängigkeit von Vektoren möglich ist, einen geeigneten der Vektoren als Linearkombination der übrigen zu schreiben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei das der erste:

$\begin{eqnarray*} v_1 = \sum_{i=2}^k \lambda_i v_i \end{eqnarray*}$

Und jetzt setze das bei $\begin{eqnarray*} f(v_1,v_2,\ldots,v_k) \end{eqnarray*}$ ein und verwende die Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im ersten Argument und sodann die Voraussetzung dieser Beweisrichtung.

12.06.2008, 19:42

Mathespezialschüler

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Die Rückrichtung hast du noch nicht gezeigt. Und die Hinrichtung machst du dir viel zu schwer. Zunächst sollen natürlich zwei beliebige Vektoren gleich sein und nicht unbedingt aufeinanderfolgende! Aber angenommen, die Multilinearform ist alternierend und zwei der Vektoren von $\begin{eqnarray*} (v_1,\ldots,v_k) \end{eqnarray*}$ seien gleich. Ist dieses Tupel dann linear abhängig oder linear unabhängig? Was folgt daraus?

Zur umgekehrten Richtung: Da musst du eben annehmen, dass die Vektoren linear abhängig sind. Dies bedeutet, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in\{1,\ldots,k\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1},\lambda_{n+1},\ldots,\lambda_k\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ (Grundkörper des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ) gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} v_k=\lambda_1v_1+\ldots+\lambda_{n-1}v_{n-1}+\lambda_{n+1}v_{n+1}+\dots+\lambda_kv_k=\sum_{\substack{i=1 \\ i\neq n}}^k~\lambda_iv_i \end{eqnarray*}$

gilt. Und nun brauchst du nur die Multilinearität in der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Komponente:

$\begin{eqnarray*} f(v_1,\ldots,v_{n-1},v_n,v_{n+1},\ldots,v_k)=f\left(v_1,\ldots,v_{n-1},\sum_{\substack{i=1 \\ i\neq n}}^k~\lambda_iv_i,v_{n+1},\ldots,v_k\right)=\ldots \end{eqnarray*}$

edit: Zu langsam ...

12.06.2008, 20:19

Romaxx

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Hallo, danke ersteinmal für die Antworten.

Was mich grundsätzlich an der Aufgabenstellung stört, ist eben, dass es sich für mich anhört, als müsste ich für die Rückrichtung alternierend dadurch zeigen, dass im Tupel eben mindestens zwei Vektoren gleich sind, nur gibt es eben Tupel, die linear abhängig sind und keine zwei gleichen Vektoren beinhalten, aber das ist Voraussetzung für den Beweis von alternierend.

So wie ihr das mir nun rübergebracht habt oder ich verstanden habe, muss ich bei der Rückrichtung annehmen, das Tupel der Abbildung auf die Null sei linear abhängig und es müssen nicht unbedingt zwei Vektoren gleich sein.

Ist das so richtig?

Gruß

12.06.2008, 20:42

Mathespezialschüler

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Ja, das ist so richtig. Natürlich gibt es linear unabhängige Systeme, in denen die Vektoren paarweise verschieden sind. Da kannst du natürlich nicht zeigen, dass zwei Vektoren daraus gleich sind. Aber das muss man eben auch nicht.

Die Voraussetzung besagt ja nur: Für alle Systeme, in denen zwei Vektoren gleich sind, ist das Ergebnis nach Anwendung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Null. Aber die Umkehrung gilt natürlich nicht.

12.06.2008, 21:00

Romaxx

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Okay, für die Rückrichtung gilt dann:

Sei $\begin{eqnarray*} (v_1,\ldots,v_{n-1},v_n,v_{n+1},\ldots,v_k) \end{eqnarray*}$ ein Tupel linear abhängiger Vektoren. Sei $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ dargestellt als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ ohne den $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ -ten Vektor. Das heisst:

$\begin{eqnarray*} v_n=\sum_{\substack{i=1 \\ i\neq n}}^k~\lambda_iv_i \end{eqnarray*}$

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} f(v_1,\ldots,v_{n-1},v_n,v_{n+1},\ldots,v_k)=f\left(v_1,\ldots,v_{n-1},\sum_{\substack{i=1 \\ i\neq n}}^k~\lambda_iv_i,v_{n+1},\ldots,v_k\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lambda_1f(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1,v_{n+1},\ldots,v_k)+\ldots+\lambda_{n-1}f(v_1,\ldots,v_{n-1},v_{n-1},v_{n+1},\ldots,v_k)+\lambda_{n+1}f(v_1,\ldots,v_{n-1},v_{n+1},v_{k-1}{n+1},\ldots,v_k)+\ldots+\lambda_kf(v_1,\ldots,v_{n-1},v_k,v_{n+1},\ldots,v_k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0+...+0+0+...+0=0 \end{eqnarray*}$

Das heisst, jedes linear abhängige $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Tupel wird auf die Nulll abgebildet und daraus folgt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist alternierend.

Gruß

12.06.2008, 21:02

Mathespezialschüler

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Du solltest noch irgendwie klar machen, dass in der Summe vor dem vorletzten Gleichheitszeichen der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Summand "fehlt". Ansonsten ist es so richtig!

12.06.2008, 21:09

Romaxx

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Okay, super danke. Freude

Habs editiert.

Gruß

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