maximales Volumen eines Quaders

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Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
maximales Volumen eines Quaders
Ich glaub, langsam finde ich großen Gefallen an Extremalproblemen. Ich hab mir mal selbst eins ausgedacht:

Wie müssen die Seitenlängen eines Quaders gewählt werden, damit er maximales Volumen hat?

Ich denk mal, die richtige Antwort ist, sie sind alle gleich lang, also ein Würfel. Aber wie komme ich rechnerisch darauf?

Ich hab mal nen Ansatz. Ich hab erstmal folgende Gleichungen aufgestellt:



und da der Flaecheninhalt konstant ist:



Da ich ja drei Variablen habe, braeuchte ich ja noch eine dritte Gleichung. Koennt ihr mir vielleicht ein wenig helfen? Danke!
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, Du brauchs Diffrechn. von 2 Variablen:
NB in V einsetzen => Du erhältst V=V(a,b).
Dieses nach beiden Variablen einzeln ("partiell") ableiten,
beide Ableitungen Null setzen. Hier hast Du Dein LGS
fürs Extremum. Wenn nur eine Lösung herauskommt,
bist Du aus anschaulichen Gründen fertig.

Liebe Grüße
Mario
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt partiell??
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, dass Du die anderen Variablen als konstant betrachtest,
also nur die Ableitung nach einer Var. ausführst.

Bsp.

Liebe Grüße
Mario
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

P.S.: Ich empfehle jedoch, in ein gutes Analysisbuch zu schauen,
musst ja die Beweise nicht durcharbeiten.

Liebe Grüße
Mario
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, du kannst es aber anders beweisen.

So kannst du nachweißen, dass das Quadrat dasjenige ist mit
größtem Flächeninhalt bei geringstem Umfang.


Auf deinen Quader übertragen.

Angenommen du hättest einen größeren als den Würfel
gefunden mit dann folglich einer echt rechteckigen Grundfläche.

Diese nimmst du nun als Grundfläche mit zugehöriger Höhe
zur Volumendarstellung.
Würdest du nun dieses Rechteck in ein flächengleiches Quadrat
verwandeln bei konstanter Höhe, so würde sich am Volumen
nichts ändern, wohl aber an der Oberfläche, die würde nämlich
wegen der fallenden Summe der Seitenflächen geringer werden.
(hier kommt die obige Eigenschaft vom Quadrat zum tragen)

Folglich gibt es einen Quader mit größerem Volumen, als der
den du gefunden zu haben glaubtest.
Dieses Spiel lässt sich immer wieder erneut anwenden solange
noch eine rechteckige Grundfläche vorhanden ist.

Deshalb kann NUR der Würfel das gesuchte Gebilde sein.


smile
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Poff, soweit ich dich verstanden habe, konstruierst du zu dem vorgegebenen Quader mit nichtquadratischer Seite einen volumengleichen Quader mit geringerer Oberfläche. So wie ich das jetzt verstehe, müsstest du den noch "aufblasen", bis er den alten Flächeninhalt hat. Dabei vergrößert sich das Volumen.

Damit zeigst du also, dass der Quader mit größtem Volumen bei konstanter Oberfläche nur der Würfel sein kann.
Wie zeigst du nun, dass er es ist?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@SirJective

*LoL*, das meinst du nicht ganz ernst . Augenzwinkern

Wenn der denn überhaupt existiert , dann ist er's,
weil ein jeder 'andere' es nicht sein kann.


smile
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Doch Poff, das meine ich ganz ernst. Tut mir leid, dass ich erst jetzt darauf antworte.

Allein die Tatsache, dass alle anderen irgendeine Eigenschaft nicht haben, heisst noch nicht, dass der eine verbleibende diese Eigenschaft hat.

Fuer jede natuerliche Zahl groesser als 1 gilt: Wenn ich sie quadriere, erhalte ich eine groessere Zahl. Jede dieser Zahlen ist also nicht die groesste natuerliche Zahl. Da nur noch die 1 uebrigbleibt, muss sie die groesste natuerliche Zahl sein. Was man auch daran erkennt, dass sie beim Quadrieren nicht groesser wird.

Es fehlt bei dem Quader-Problem also noch zu zeigen, dass ueberhaupt irgendein Quader mit größtem Volumen bei konstanter Oberfläche existiert.

Du hast bisher gezeigt, dass es zu jedem Quader ausser dem Wuerfel einen flaechengleichen gibt, der ein groessere Volumen hat, und dass mit dem von dir angegebenen Verfahren der Wuerfel nicht vergroessert werden kann. Siehst du die formale Parallele zum Beispiel mit dem Quadrat der Zahl 1?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

*LOL*

*g*,

ich verstehe worauf du raus willst, kann das aber dennoch HIER
nicht in der von dir geschilderten Form zuordnen. :-o

Die Frage läßt diese von dir angesprochene Alternative ja nicht zu.
Zu betrachten waren alle Quader, und da kenne ich im Prinzip
nur den 'NICHTWürfelQuader' und den 'WürfelQuader'

und ich sagte ja schon,

Zitat:
Wenn der denn überhaupt existiert , dann ist er's,
weil ein jeder 'andere' es nicht sein kann.


und diese Existenz lass ich einfach offen und bin damit sauber raus

Ich sage also nicht er ist's, sondern ein jeder andere ist's nicht !! Augenzwinkern


smile
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
und ich sagte ja schon,
Zitat:
Wenn der denn überhaupt existiert , dann ist er's,
weil ein jeder 'andere' es nicht sein kann.

und diese Existenz lass ich einfach offen und bin damit sauber raus
Ich sage also nicht er ist's, sondern ein jeder andere ist's nicht !! Augenzwinkern


Ich hatte nicht erkannt, wer "der" ist, und wer "er" ist. Und auch nach nochmaligem Durchlesen komme ich zu dem Schluss, dass ich nichts übersehen hab - außer vielleicht irgendwas zwischen den Zeilen, aber da lese ich grundsätzlich nicht Augenzwinkern
Nun verstehe ich aber, dass "der" der Quader mit dem maximalen Volumen bei konstanter Oberfläche ist, und dass "er" der Würfel ist.
Und so sind wir uns nun einig, dass die Existenzfrage noch nicht beantwortet ist.

Ich sehe momentan zwei Wege, die Existenz eines solchen Quaders nachzuweisen:
Entweder, indem man direkt jeden Quader mit dem Würfel vergleicht - damit erkennt man ihn als das Maximum.
Oder, indem man irgendein abstrakteres Argument vorbringt, warum es einen Quader geben muss, der bei vorgegebener Oberfläche ein maximales Volumen haben muss.

Zu beiden fällt mir aber nichts ein.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

weg
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