Integrieren eines Bruches

08.03.2006, 15:31

hagbard1986

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Integrieren eines Bruches

Hallo, ich habe die Suche gestern und heute mehrfach durchgewälzt, aber keinen Thread gefunden, der bei mir den AHA-Effekt ausgelöst hat. Ich würde gerne wissen wie ich die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} <br /> \int_{b}^{a}~\frac {x³}{(x^4+1)}~dx \end{eqnarray*}$ bilden, aber ich komme nicht drauf. Ich hab mir sogar ne Skizze gemacht, aber ich finden den Ansatz immer noch nicht.

Ich habe auch versucht etwas von der Art $\begin{eqnarray*} \frac{A} {...} + \frac{B} {...} \end{eqnarray*}$ herzustellen, aber ohne Erfolg.

Gruß

08.03.2006, 15:35

klarsoweit

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RE: Integrieren eines Bruches
Substituiere z=x^4+1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2006, 15:53

system-agent

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denk mal an: ableitung vom nenner steht im zähler....wenn du das hinfummeln kannst, ist alles in butter....klingelts?

gruß, system-agent

08.03.2006, 16:41

hagbard1986

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$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{x^3}{z}~dx \end{eqnarray*}$ bringt mich aber doch auch noch nicht wirklich weiter, oder?
Ich meine, wenn ich damit weiter mache und auf $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{4}*x^4 * \frac{1}{z}]_{b}^a - \int_{b}^{a}~~dx \frac{1}{4} * x^4 * \frac{z - z'}{z^2} \end{eqnarray*}$ komme, dann hab ich mich doch schon wieder verrannt, oder? Da war ich nämlich schon des öfteren.

Gruß

08.03.2006, 16:46

speedyschmidt

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du musst alle x substituieren. Sowohl x^3 als auch dx lässt du außen vor!

z=x^4+1 führt dich dann zu dz/dx=4x^3

08.03.2006, 17:27

hagbard1986

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$\begin{eqnarray*} \frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$ liegt ja fast vor, es passt halt nur um 4 nicht. Bitte habt Verständnis für mich *g, ich eigne mir das alles momentan nur mit einem Büchlein an und wenn man sonst nie jemanden hat, der einem etwas erklärt, dann verrennt man sich leider immer wieder in irgendwelche Ideen und hat dann keinen Überblickl mehr über das eigentlich Problem.

Gruß

[edit] Arr ich kann ja 1/4 vor das Integral ziehen und dann hab ich mit 4x^3 die Ableitung. Right?

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08.03.2006, 19:10

klarsoweit

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Richtig. Aber schau dir auch die Substitution nochmal an. Nicht immer hast du f'/f und dann brauchst du vielleicht doch die Substitution.

08.03.2006, 19:19

Evok

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Zitat:

Original von hagbard1986
$\begin{eqnarray*} \frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$ liegt ja fast vor, es passt halt nur um 4 nicht.

Gruß

[edit] Arr ich kann ja 1/4 vor das Integral ziehen und dann hab ich mit 4x^3 die Ableitung. Right?

[Edit]
war blödsinn

09.03.2006, 07:33

hagbard1986

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Wie würde ich bei meiner gestellten Aufgabe mit der Substitution vorgehen? Also das ich z = x^4 +1 setzen soll ist klar, aber was bringt mir das dann konkret? Soll mir das auf einen Term der Art $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ helfen, welcher sich dann zu ner Logarithmus Funktion integerieren lässt?

Gruß

09.03.2006, 08:35

klarsoweit

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So ungefähr. Du mußt noch die Ableitung dz/dx bestimmen, hier ist das:
dz/dx = 4x³. Das nach dz umstellen: dz = 4x³dx. Jetzt noch im Zähler vom Integral eine 4 reinschreiben und dafür ein 1/4 davor und du kannst das 4x³dx durch dz ersetzen.

09.03.2006, 12:02

hagbard1986

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Meinst du so?
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{x^3}{x^4+1}~dx ; z = x^{4}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = \sqrt[4]{z-1} \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{\sqrt[4]{z-1}}{z}~dx \end{eqnarray*}$

09.03.2006, 12:29

klarsoweit

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RE: Integrieren eines Bruches
Nein. Du hast immer noch Probleme mit de Substitution des dx.
Also wir setzen z = x^4 + 1. Dann ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = 4x^3 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt: $\begin{eqnarray*} dz = 4x^3 \cdot dx \end{eqnarray*}$
So jetzt zum Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac {x^3}{x^4+1}~dx = 0,25 \cdot \int_{}^{}~\frac {1}{x^4+1} \cdot 4x^3~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0,25 \cdot \int_{}^{}~\frac {1}{z}~dz \end{eqnarray*}$

09.03.2006, 13:19

hagbard1986

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Danke für deine Zeit und Mühe, du hast es doch noch geschafft mir die Substitution verständlich zu machen. Mit ein paar weiteren Übungsaufgaben werd ich das schon in den Griff bekommen.

Gruß und auch vielen Dank an die anderen Helfer

09.03.2006, 13:29

klarsoweit

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Na fein.

Augenzwinkern

Ich vergaß noch zu erwähnen, daß ich die Integrationsgrenzen weggelassen habe. Entweder mußt du die bei der Substitution auch transferieren oder du löst das unbestimmte Integral und machst die Rücksubstitution, um eine Stammfunktion vom ursprünglichen Integral zu erhalten.

09.03.2006, 14:05

hagbard1986

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Ich habs jetzt per Rücksubstitution gemacht. Bei der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~~dx \frac{x^7}{x^4+2} \end{eqnarray*}$ würde -wenn ichs jetzt ein wenig kapiert hab- erst mal eine Polynomdivision anfallen, welche mich mein ursprüngliches Integral aufspalten lässt in: $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x^3~dx \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} 0,5 * \int_{b}^{a}~~du \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ wenn ich $\begin{eqnarray*} u = x^{4} + 2 \end{eqnarray*}$ setze, oder?

09.03.2006, 14:18

klarsoweit

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Ja, ist ok, bis auf die Integrationsgrenzen beim 2. Integral. Wie gesagt: lieber die Integrationsgrenzen weglassen, sonst kommt man auf falsche Gedanken.

09.03.2006, 16:48

hagbard1986

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, ist ok, bis auf die Integrationsgrenzen beim 2. Integral. Wie gesagt: lieber die Integrationsgrenzen weglassen, sonst kommt man auf falsche Gedanken.

Ahso, du meinst, dass es einen dazu verführen könnte gleich "u" durch Ober-und Untergrenze zu ersetzen, oder?

Wie würdest du eine Funktion von dieser Art angehen? $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{x}{\sqrt{(x^2+1)^3}} ~dx \end{eqnarray*}$ .

Da weis ich nämlich leider auch schon wieder nicht mehr weiter. Ich meine ich habs jetzt mal versucht, indem ich die Quadratwurzel als ^0,5 geschrieben und mit dem ^3 zusammengefasst habe, aber das nützt noch nicht richtig was.

Gruß

09.03.2006, 17:14

speedyschmidt

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Na denke an f/f' !!!!

Ersetze einfach z=x^2+1

09.03.2006, 17:36

KimmeY

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hmm.... also ich hab dir hier einfach nochmal die substitutions regel hingeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int u(v(x))\cdot v'(x) dx = [U(v(x))] \end{eqnarray*}$ so wie sie bei uns im buch steht und (zumindest finde ich dass) sehr verständlich ist....

du kannst die methode der substituton beim integrieren also dann anwenden, wenn du eine äußere funktion, eine innere funtion und die ableitung der inneren funktion vorliegen hast......(du musst also immer danach suchen ob du irgendwo die ableitung der inneren funktion entdeckst)

so, schaust du dir mal dein bruch an.... zähler ist x.... im nenner haste die wurzel, das ³ und dann x²+1...... so, also haste hier im nenner im prinzip 2 äußere funktion...... also am besten die wurzel als hoch 0,5 schreiben und mit der hoch 3 zusammenfassen.....

so, dann hast du also eine äußere funktion, und eine innere funktion, wenn du jetzt noch die ableitung innere funktion hast musst du nur alles nach der regel auchschreiben und fertig smile

smile

......... vielleicht einfach nochmal ein beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x²}{(x³-4)} dx = \int \frac{1}{(x³-4)} \cdot (3x²) dx \end{eqnarray*}$

so, wir setzten die äußere funktion $\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ die innere funktion $\begin{eqnarray*} v(x)= (x³-4) \end{eqnarray*}$ ..... so, die ableitung der inneren funktion wäre dann v'(x)=3x² ....... so, vergleichen wir das mit dem was da steht: passt perfekt überein, muss du also keinen faktor oder so vors integral ziehen......

so, nun zur stammfunktion: die äußere funktion wir einfach aufgeleitet: 1/t aufgeleiten ist der ln(t) ...... statt dem t nehmen wir jetzt die innere funktion die wir ja als x³ -4 festgelegt hatten damit haben wir dann:

[latex]\int \frac{3x²}{(x³-4)} dx =[ln(x³-4)]

eigentlich ohne viel rechenaufwand wenn man das sieht

14.03.2006, 14:08

hagbard1986

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So, nachdem ich auch diese Aufgabe nach ein wenig spielen hinbekommen habe hänge ich schon bei der nächsten.

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{x^7}{x^4+2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst Polynomdivision gemacht und konnte das ursprüngliche Integral in $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x^3~dx - \int_{b}^{a}~\frac{2x^3}{x^4+2}~dx \end{eqnarray*}$
Nun ist das erste Integral leicht hinzuschreiben und es gibt nur noch ein wenig Arbeit am 2.

Ich habe am 2. Integral $\begin{eqnarray*} x^4=u \end{eqnarray*}$ gesetzt und damit das Integral $\begin{eqnarray*} 0,5\int_{b}^{a}~u^(-1)~du \end{eqnarray*}$ erhalten. Wenn ich jetzt die Stammfunktion zu u^(-1) suche ist das eine Konstante 1, oder? Ich mein u^(-1) ergibt doch u^0=1 ?!

Mein Taschenrechner, der auch Integrale ausrechnen kann sagt mir, dass ich nen Fehler gemacht habe. Ich weis nur nicht welchen.

Gruß

14.03.2006, 14:17

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x}~dx = ln \mid x \mid + c \end{eqnarray*}$

Edit: bei deinem Integral ist es praktischer, wenn du

$\begin{eqnarray*} x^4+2= u \end{eqnarray*}$

substituiert!

14.03.2006, 14:21

hagbard1986

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x}~dx = ln \mid x \mid + c \end{eqnarray*}$

Danke, ich glaub ich sollte in Zukunft erst einmal nen Tag meine Klappe halten, wenn ich ein "Problem" habe. Vielleicht bleiben dann solche Blackouts mal aus.

Gruß

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