Berechnung beliebiges Viereck

08.03.2006, 15:40

fm aus b

Berechnung beliebiges Viereck

Kann mir jemand helfen dieses Viereck zu berechnen. (siehe Anhang). Es sollen die zwei fehlenden Winkel und die fehlende Seitenlänge berechnet werden.

Ich bin fast am verzweifeln ist für mich eine absolut unlösbare Aufgabe. Vieleicht stehe ich auch einfach auf dem Schlauch.

Gruss Frank Willkommen

08.03.2006, 18:53

riwe

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RE: Berechnung beliebiges Viereck
da sich sonst niemand erbarmt - aus gutem grund - biete ich folgende furchtbare variante an:
( mit x = seite am rechten winkel)
1) du zeichnest die 1. diagonale, dann hast du mit den cosinussatz
$\begin{eqnarray*} x^{2}+1.2^{2}=e^{2}=9+9-18\cdot cos(150-\alpha ) \end{eqnarray*}$
2) derselbe käse mit der 2. diagonale
$\begin{eqnarray*} x^{2}+9=f^{2}=9+1.2^{2}-7.2\cdot cos(\alpha ) \end{eqnarray*}$
x eliminieren, und nun wieder $\begin{eqnarray*} cos(\alpha )= x \end{eqnarray*}$ liefert das wunderbare gebilde
$\begin{eqnarray*} 1.0685x^{2}+1.7052x+0.7497-\sqrt{1-x^{2}}\cdot (0.6635+x)=0 \end{eqnarray*}$
mit der lösung $\begin{eqnarray*} \alpha = 100.81° \end{eqnarray*}$ ,
was man viel, viel schneller hat, wenn man dieses biest konstruiert und den winkel mißt.
werner

08.03.2006, 19:15

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Alternative zu Werners Lösung:

Ich bezeichne mal das Viereck $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ mit gegebenen $\begin{eqnarray*} a=b=3,d=1.2,\gamma=80^{\circ},\delta=120^{\circ} \end{eqnarray*}$

(1) Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt der Geraden $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ . Dann sind uns alle Winkel im Dreieck $\begin{eqnarray*} CDE \end{eqnarray*}$ bekannt, und es gilt nach Sinussatz:

$\begin{eqnarray*} \overline{CE} = c\frac{\sin(180^{\circ}-\delta)}{\sin(\gamma+\delta-180^{\circ})},\quad \overline{DE} = c\frac{\sin(180^{\circ}-\gamma)}{\sin(\gamma+\delta-180^{\circ})} \end{eqnarray*}$

(2) Im Dreieck $\begin{eqnarray*} ABE \end{eqnarray*}$ wenden wir nun den Kosinussatz für die Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} a^2 = (b+\overline{CE})^2 + (d+\overline{DE})^2 - 2(b+\overline{CE})(d+\overline{DE})\cos(\gamma+\delta-180^{\circ}) \end{eqnarray*}$

Nach Einsetzen der Beziehungen aus (1) und aller gegebenen Werte sollte das "nur" eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sein.

08.03.2006, 20:30

riwe

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so ein mist, sehe gerade bei arthur, das sind 80 statt 90°.
(ändert aber nur am ergebnis was)
jaja die augen
werner

08.03.2006, 20:32

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Aber ein gutes Winkelauge hast du trotzdem: Am Monitor im Bild vermessen sind es wirklich $\begin{eqnarray*} 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

08.03.2006, 20:42

riwe

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danke arthur,
aber ich habe tatsächlich nur hinsgechaut, und da waren es 90°.
das glasauge ist vielleicht gerade vom umbauen geschult, und sonst tu ich mir halt schon recht schwer bei dem bildschirmzeug.
naja, noch einmal rechnen tu ich das sicher nicht mehr,
euklid sagt $\begin{eqnarray*} \alpha = 99.67° \end{eqnarray*}$
werner

08.03.2006, 20:44

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Hab ich auch, über meinen Alternativweg mit quadratischer Gleichung.

EDIT:

Wenn ich mir Werners Konstruktion noch mal genau anschaue, dann geht es auch ohne quadratische Gleichungen, mit einmal mehr Sinussatz. Aber da warte ich erstmal ab, ob "fm aus b" sich noch dafür interessiert.

09.03.2006, 10:28

fm aus b

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Hey Arthur, versuchte gerade Deine Lösung nachzuvollziehen aber ich packs nicht ganz. Bräuchte noch die zwischenschritte oder zumindest die fertig aufgelöste Gleichung nach einer der unbekannten z.B. c=..........

Mit werner seiner Lösung komme ich gar nicht klar mir fehlen auch die Zwischenschritte, und die fertig aufgelöste Gleichung.

Also ich komme mit Kosinus- und Sinussatz schon klar nur das Ihr mich nicht falsch versteht, aber das Auflösen nach den unbekannten müsste ich schrittweise sehen um es zu verstehen.

Danke im voraus für eure Bemühungen.

P.S: Der eine Winkel beträgt 90° sorry wenn man das nicht klar erkennen konnte.

09.03.2006, 15:30

riwe

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Zitat:

Original von fm aus b
P.S: Der eine Winkel beträgt 90° sorry wenn man das nicht klar erkennen konnte.

@arthur: was sagt man nun dazu? Big Laugh

worauf kann man denn da noch vertrauen, und das bei 3 stellen nach dem komma!

@fm aus berlin (fm = fata morgana = täuschung?)
darum hat arthur dent $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ geschrieben und nicht 80, also einfach 90 einsetzen, ergebnis sollte dann 100.81° sein.
setze der reihe nach die zahlenwerte ein, dann hast du CE und DE. danach geht es einfach in der letzten formelzeile weiter.
werner

09.03.2006, 16:18

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Hier mal die genaue Reihenfolge ohne quadratische Gleichungen:

(1) Ergänze das rechtwinklige Dreieck BCD zum Rechteck BCDE
(2) Berechne Seite AE durch Kosinussatz im Dreieck ADE
(3) Berechne Winkel AED durch Sinussatz im Dreieck ADE
(4) Berechne Winkel AEB als einfache Winkelsumme
(5) Berechne Winkel EBA durch Sinussatz im Dreieck ABE
(6) Berechne Winkel BAE durch Winkelsumme im Dreieck ABE
(7) Berechne Seite BE durch Sinussatz im Dreieck ABE, dann ist c=CD=BE im Rechteck BCDE

Und der Rest:

(8) Berechne Winkel ABC als einfache Winkeldifferenz
(9) Berechne Winkel DAB durch Winkelsumme im Viereck ABCD

Vielleicht geht's auch kürzer, darum habe ich mich nicht sehr bemüht. Augenzwinkern

10.03.2006, 16:07

fm aus b

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Hey Arthur,

tausend dank habs geraft. Mir fehlte einfach der Einstieg habe das maßgebliche dreieck einfach nicht gefunden. (Vor lauter Bäumen den Wald.......)

Wäre jetzt aber trotzdem noch an der quatratischen Gleichung interesiert.

Gruß

Die fata morgana aus Berlin Wink

10.03.2006, 16:28

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Steht eigentlich alles bei mir oben. Unter zusätzlicher Nutzung von $\begin{eqnarray*} \sin(180^{\circ}-\varepsilon) = \sin \varepsilon \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sin(\varepsilon-180^{\circ}) = -\sin \varepsilon \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cos(\varepsilon-180^{\circ}) = -\cos \varepsilon \end{eqnarray*}$ für beliebige Winkel $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ kann man auch

$\begin{eqnarray*} \overline{CE} = -c\frac{\sin\delta}{\sin(\gamma+\delta)},\quad \overline{DE} = -c\frac{\sin\gamma}{\sin(\gamma+\delta)} \end{eqnarray*}$

schreiben, was nach dem Einsetzen zu

$\begin{eqnarray*} a^2 = \left( b-c\frac{\sin\delta}{\sin(\gamma+\delta)} \right)^2 +\left(d-c\frac{\sin\gamma}{\sin(\gamma+\delta)}\right)^2 + 2\left(b-c\frac{\sin\delta}{\sin(\gamma+\delta)}\right)\left(d-c\frac{\sin\gamma}{\sin(\gamma+\delta)}\right) \cos(\gamma+\delta) \end{eqnarray*}$

führt. In dieser Gleichung sind $\begin{eqnarray*} a,b,d,\gamma,\delta \end{eqnarray*}$ bekannt und können eingesetzt werden, $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist dagegen unbekannt. Wenn du nach dem Einsetzen alles ausmultiplizierst, bleibt eine quadratische Gleichung für dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ übrig.

10.03.2006, 19:01

fm aus b

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Alles klar. merci

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