Extremalaufgabe mit Gebrochen-Rationaler Funktionsschar

09.03.2006, 15:17	Alfons21	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalaufgabe mit Gebrochen-Rationaler Funktionsschar bin im Mathe Leistungskurs... mein Probelm ist rein theoretisch: Gegeben ist eine Gebrochen-Rationalen Funktionsschar mit dem unbekannten Parameter k. Auch gegeben ist eine einfache rationale Funkton (Gerade, Parabel etc.). Die Aufgabe ist jetzt, k so zu bestimmen, dass die Schnittmenge (sprich das Integral) maximal wird. Ich weiß das klingt sehr Abstrakt, vor allem ohne konkrete Funktionen oder ein Intervall, aber ich würde nur gene wissen wie man da rangehen wüde. Ist ja Extremalaufgabe und Integralaufgabe in einem... danke im vorraus alfons
09.03.2006, 16:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Eine theoretische Antwort auf eine theoretische Frage: Beide Kurven zum Schnitt bringen, wir nehmen der Einfachheit halber an, es gibt (nur) 2 Schnittpunkte. Deren Koordinaten werden mit dem Parameter $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ behaftet sein, vor allem die x-Werte, denn um die geht es in weiterer Folge: Sie bilden die Grenzen, zwischen denen nun das bestimmte Integral der Differenz der beiden Funktionen (das ist die Fläche, die von den beiden Kurven zwischen den Schnittpunkten eingeschlossen wird) darzustellen ist. Der Wert $\begin{eqnarray} A(k) \end{eqnarray}$ dieses bestimmten Integrals ist bis auf den Scharparameter $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ bestimmt, d.h. er hängt von diesem ab, er ist eine Funktion $\begin{eqnarray} A(k) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Diese Funktion $\begin{eqnarray} A(k) \end{eqnarray}$ ist nun nach bekanntem Muster zu maximieren: $\begin{eqnarray} A'(k) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A''(k_{max}) < 0 \end{eqnarray}$ Gr mYthos
09.03.2006, 17:00	.seb.	Auf diesen Beitrag antworten »
a und b seien die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. dann ist d(x) = f(x) - g(x) zu bilden -> Differenzfunktion d(x) = d(k) d'(k) = 0 -> kmax d'')k) < 0 Uff zu spät, lass ich aber stehen.
09.03.2006, 17:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@.seb. a und b sind die Schnittpunkte? Oder meinst du wahrscheinlich deren x-Werte? Wie hängen a, b mit d zusammen? Und dann fehlt der Schritt mit der Flächenberechnung (Integral), oder?
09.03.2006, 17:22	Alfons21	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden (Vor allem an mYthos, das half mir mehr)....für die Information und die schnelle Antwort. ist im Endeffekt ja gar nicht so schwer ;-)
09.03.2006, 20:12	.seb.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Differenzfunktion wird in Abhängigkeit von k maximiert. Das Maxima der Differenzfunktion in Abhängigkeit von k ist dann folgerichtig das k maximal, was dann ja wieder rückwirkend ist auf d(x). d(x) mit den kmax kann dann integriert werden. Das wäre der maximale Flächeninhalt in Abhängigkeit von k. Deine Lösung ist aber optimiert.
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