Reihen

09.03.2006, 16:18

kingskid

Reihen

wie kann ich zeigen, dass wenn

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ a_n ² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ b_n ² \end{eqnarray*}$

konvergieren, auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ { \mid a_n b_n \mid} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ { (a_n ² + b_n ²) } \end{eqnarray*}$

konvergieren?
ich weiß doch eigentlich nur dass wegen der konvergenz $\begin{eqnarray*} a_n² ->0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n² -> 0 \end{eqnarray*}$ gehen muss, aber wie kann ich etwas über die beiden andren reihen aussagen?? verwirrt

09.03.2006, 16:36

Marcyman

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Erstens folgt mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, für zweitens gibts doch Sätze über Rechenregeln mit konvergenten Reihen.

09.03.2006, 19:12

kingskid

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danke für die tipps, aber gibt es keinen einfachereren weg ohne chauchy-schwarz-ungleichung??

... und ist die summe zweier konvergenter folgen wieder konvergent??

11.03.2006, 17:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von kingskid
... und ist die summe zweier konvergenter folgen wieder konvergent??

Natürlich! Cauchy-Schwarz ist für die erste eigentlich das Beste, was du finden kannst, denke ich. Was hast du gegen die Anwendung der CSU?

Gruß MSS

11.03.2006, 19:06

kingskid

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Mr Cauchy ist mir vieeel zu complicated!!
hab inzwischen aber eine ziemlich einfache lösung für die aufgabe bekommen (muss nur geschickt abschätzen smile

), hat sich also erledigt....

11.03.2006, 20:00

therisen

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RE: Reihen

Zitat:

Original von kingskid
wie kann ich zeigen, dass wenn

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ a_n ² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ b_n ² \end{eqnarray*}$

konvergieren

Leider konvergieren die von dir genannten Reihen nur im trivialen Falle $\begin{eqnarray*} a_n=b_n=0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

11.03.2006, 20:37

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Ein sehr subtiler Hinweis auf den falschen Reihenindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

12.03.2006, 00:02

Marcyman

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Kannst du einmal deine Lösung aufschreiben? Und ich würd' mir doch mal die CSU merken, weil man die schon ab und zu braucht.

12.03.2006, 14:25

kingskid

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yea, also bei der ersten muss man nur zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \mid a_n b_n \mid \leq a_n² + b_n² \end{eqnarray*}$
1.Fall:
$\begin{eqnarray*} \mid a_n\mid \leq \mid b_n\mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid a_n b_n\mid \leq b_n² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid a_n b_n \mid \leq b_n²+a_n² \end{eqnarray*}$

2.Fall
$\begin{eqnarray*} \mid b_n \mid \leq \mid a_n \mid \end{eqnarray*}$ analog

aus der Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {a_n²} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {b_n²} \end{eqnarray*}$ folgt Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {(a_n² + b_n²)} \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {\mid a_n b_n\mid} \leq \sum_{n=1}^ \infty ~ {(a_n²+b_n²)} \end{eqnarray*}$ (Konvergenz nach Majorantenkriterium)

so.. bei der zweiten gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {(a_n + b_n)² }=\sum_{n=1}^ \infty ~ {a_n²} + 2\sum_{n=1}^ \infty ~ {a_n b_n} + \sum_{n=1}^ \infty ~ {b_n²} \end{eqnarray*}$

nach voraussetzung konvergieren ja $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {a_n²},\sum_{n=1}^ \infty ~ {b_n²} \end{eqnarray*}$
und da $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {\mid a_n b_n \mid} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, konvergiert diese Reihe insbesondere,
daraus folgt dann Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty ~ {(a_n+b_n)²} \end{eqnarray*}$

wär ich selbst nie draufgekommen... aber klingt logisch smile

so, könnt ihr mir das jetzt noch mit der cauchy-schw-ungleichung erklären?? kann mit der überhaupt nichts anfangen.....

12.03.2006, 16:33

therisen

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Hi kingskid,

die CSU besagt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n |a_kb_k| \leq \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2} \cdot \sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2 \cdot \sum_{k=1}^n b_k^2 } \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

13.03.2006, 09:34

kingskid

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hmm.. .danke therisen...
wär dann wurzel aus dem Produkt der beiden Reihen eine kovergente Majorante ?? oder kann man das nicht sagen, dass das Produkt zweier konvergenter Reihen wieder konvergent ist?? ... und mit der wurzel?

13.03.2006, 15:07

Mathespezialschüler

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Natürlich konvergiert das Produkt zweier konvergenter Reihen - es ist ja auch nur ein Produkt zweier konvergenter Folgen. Und selbstverständlich konvergiert auch die Wurzel aus einer konvergenten Folge, da die Wurzelfunktion stetig ist. Dein Weg von oben ist aber natürlich auch korrekt und doch "einfacher" als die CSU, wenn man die noch nicht kennt.

Gruß MSS

13.03.2006, 15:56

kingskid

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hi MSS
danke für die erklärungen Augenzwinkern

vielleicht brauch ichs ja dann doch mal....
gruß
kingskid
Wink

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