Untervektorräume

09.03.2006, 17:33

Michi131

Untervektorräume

Hey!
Ich bin gerade mitten in den Abivorbereitungen und hab echt keine Ahnung wie ich die Aufgaben rechnen muss.

(1)

$\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ seien zwei Untervektorräume eines Vektorraums V.
$\begin{eqnarray*} U= U_1\oplus U_2 \end{eqnarray*}$ sei die Menge der Summen von Vektoren aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und Vektoren aus $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ,
also $\begin{eqnarray*} U= \{ \vec{u_1} + \vec{u_2} / \vec{u_1}\in U_1, \vec{u_2}\in U_2\} \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass U ein Untevektorraum von V ist.

(2)

$\begin{eqnarray*} U_1= <\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 18 \\ -4 \end{pmatrix}> ,U_2= <\begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 19 \\ -6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ .

Zeige: $\begin{eqnarray*} U_1\oplus U_2= R^4 \end{eqnarray*}$
Zeige: $\begin{eqnarray*} U_1 geschnitten U_2= \{ \vec{0}\} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal
Michi

09.03.2006, 18:27

as_string

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RE: Untervektorräume
Hallo!

Reicht es nicht, zu zeigen, dass die vier Vektoren linear unabhängig sind? Für den ersten Teil auf jeden Fall, aber folgt der zweite mit der 0 nicht auch direkt daraus?
Bin mir auch nicht sicher... Müßte erst nochmal überlegen...

Gruß
Marco

Edit: Ich hab nur von der 2) geredet und da von den beiden "Zeigen Sie:"
Den ersten hatte ich komplett übersehen... muß ich mir erst noch anschauen.

09.03.2006, 19:25

Ace Piet

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RE: Untervektorräume
Bzgl. (1) fehlt ein wesentlicher Zusatz... mit eindeutigen Vektoren $\begin{eqnarray*} u_1 , u_2 \end{eqnarray*}$ , was gleichwertig ist mit $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Läßt man die Forderung nach Eindeutigkeit weg, so ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , trotzdem wird $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls zu einem Unterraum von V. - Man prüfe die Abgeschlossenheit und Existenz der 0, die geforderten Rechengesetze bleiben ja auf Teilmengen $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_1 \oplus U_2 \end{eqnarray*}$ von V gültig.

09.03.2006, 22:56

Michi131

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RE: Untervektorräume
hm, auf dem blatt steht nix mit eindeutigen vektoren
könntest du nochmal genauer erklären was du mit abgeschlossenheit und existenz von 0(vektor?)meinst???
meinst du da die axiome oder so?
und wie würdest du dann das machen?

ciao
michi

09.03.2006, 23:07

Ben Sisko

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RE: Untervektorräume

Zitat:

Original von Michi131
hm, auf dem blatt steht nix mit eindeutigen vektoren

Das ist eigentlich eine Eigenschaft der direkten Summe, also von $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ .

Existenz der 0 heisst, dass du nachweisen musst, dass der Nullvektor in U liegt.

Abgeschlossenheit heisst, dass für 2 Vektoren u und v aus U deren Summe wieder in U liegt und für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ rv wieder in U liegt.

Das sind die Kriterien, die für einen Unterraum zu zeigen sind.

Gruß vom Ben

09.03.2006, 23:14

Michi131

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RE: Untervektorräume
ok, das mit der abgeschlossenheit kapier ich, aber die vektoren heißen ja nur $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ .
Also selbst wenn ich das jetzt prüfe, weiß ich ja nicht ob die jetzt noch im Vektorraum liegen, weil ich ja gar keine zahlen oder bedingungen hab (zumindest keine, mit denen ich was anfangen kann).

ciao
michi

09.03.2006, 23:52

Ben Sisko

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RE: Untervektorräume
Ein Vektor $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1 \end{eqnarray*}$ ist eine Linearkombination der Vektoren, die $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ erzeugen(Edit: die hast du gegeben!), für $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ebenso. Ein Vektor $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ ist die Summe zweier solcher Vektoren. So sieht also ein $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ aus. Nimm dir dazu noch ein $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ und eine reelle Zahl r und prüfe, ob $\begin{eqnarray*} u+v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ru \end{eqnarray*}$ wieder von dieser Form sind.

10.03.2006, 00:51

Ace Piet

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RE: Untervektorräume
> Existenz der 0 heisst, ...

Machen wir mal etwas Überzeugungsarbeit...

$\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ sind je 2 Vektorräume, enthalten also DIE (einzige) $\begin{eqnarray*} 0 \in V \end{eqnarray*}$ . - Damit wäre $\begin{eqnarray*} V \ni \end{eqnarray*}$ 0 = 0 + 0 $\begin{eqnarray*} \in U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ , egal, ob das $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ direkt oder nur $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ist.

> ...und für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (und beliebiges $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ )
> auch $\begin{eqnarray*} r \cdot v \end{eqnarray*}$ wieder in U liegt
> ... min. i.S. von Ben ergänzt - HTH !.
Dieser Nachweis sollte jetzt klar werden...

> das mit der abgeschlossenheit kapier ich, ...

Glaub ich nicht. - Mache Dir klar, dass ALLES eh im grossen (alles enthaltenden VR) V landet. Schliesslich sind es ja Summen aus V. ... Nur geht es NICHT um die Abgeschlossenheit eines V, sondern um das $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_1 \oplus U_2 \end{eqnarray*}$ . - Letztere müssen die VR-Axiome für sich erfüllen, insbesondere ihre Summen, Vielfache, (addit.-)Inversen. IN $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_1 \oplus U_2 \end{eqnarray*}$ finden.

Zwischenzeitlich sehe ich einen Beitrag von Ben. => lesen!

Die Erfüllung der VR-Axiome spaltet sich in div. Kategorien: AG(+/.) + KG gelten stets auf jeder Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \subseteq V \end{eqnarray*}$ . - Der Rest benötigt den spez. Nachweis, daß die VR-Regeln speziell für dieses U gelten.

$\begin{eqnarray*} 0 \in U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ wurde gebracht...
I : $\begin{eqnarray*} a,b \in U => a + b \in U \end{eqnarray*}$
II : $\begin{eqnarray*} ... => r \cdot b \in U \end{eqnarray*}$
...warten.

Und sonst(?)... Wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \emptyset \end{eqnarray*}$ zusätzlich gilt, dann ist die Darstellung $\begin{eqnarray*} x = u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$ eindeutig, sprich: Es gibt keine weiteren $\begin{eqnarray*} v_1 \in U_1, v_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = u_1 + u_2 = v_1 + v_2 \end{eqnarray*}$ ; d.h. es ist (zwingend) $\begin{eqnarray*} u_1 = v_1; u_2 = v_2 \end{eqnarray*}$ .

Zusatz (@string): Dinge werden klar mit der Aussage: Auch Teilmengen lin.unabh. Mengen sind lin.unabh. ...

Wink

---------------

P.S.+ Frage : Gibt es weitere Verknüpfungssysmbole vom Typ "oplus", etwa "osenkrecht" - Danke-

10.03.2006, 04:57

Ben Sisko

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RE: Untervektorräume

Zitat:

Original von Ace Piet
P.S.+ Frage : Gibt es weitere Verknüpfungssysmbole vom Typ "oplus", etwa
"osenkrecht" - Danke-

$\begin{eqnarray*} \ominus \otimes \odot \oslash \end{eqnarray*}$

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