Analyt. Geom., Diagonalen rechtwinklig?

13.06.2008, 16:25

Dalice66

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Analyt. Geom., Diagonalen rechtwinklig?

Hallo Leute,
ich soll zur folgender Aufgabe prüfen, ob sich die Diagonalen eines Blattes
rechtwinklig schneiden.

Die Rechteckseiten eines DIN-Formates verhalten sich wie

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}:1 \end{eqnarray*}$

Halbiert man ein solches Blatt durch Falten der eingezeichneten Linie, so
erhält man wieder ein DIN-Format.

Zeigen Sie bitte mit Hilfe der Vektorrechnung, dass sich die Diagonalen des
großen und des kleinen Formates rechtwinklig schneiden.

[attach]8278[/attach]

Meine Idee war nun die Diagonalen daraufhin zu prüfen, ob sie orthogonal zueinander sind.

Kann ich die linke untere Ecke als Ursprung nehmen und von da aus die Nullvektoren bestimmen?

13.06.2008, 16:27

tmo

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RE: Analyt. Geom., Diagonalen rechtwinklig?

Zitat:

Original von Dalice66
Kann ich die linke untere Ecke als Ursprung nehmen?

Ja.

13.06.2008, 16:53

riwe

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RE: Analyt. Geom., Diagonalen rechtwinklig?
brauchst du aber nicht.
mit den bezeichnungen im bilderl hast du

$\begin{eqnarray*} \vec{d}_1=\vec{a}-\vec{b}\quad{}\vec{d}_2=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{a} \end{eqnarray*}$

und nun zeige, dass für das skalarprodukt gtilt

$\begin{eqnarray*} \vec{d}_1\cdot\vec{d}_2=0 \end{eqnarray*}$

13.06.2008, 16:54

mYthos

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Nullvektoren sind das aber nicht, die du vermutlich bestimmen willst, auch wenn ihr skalares Produkt letztendlich Null ergibt. Der Nullvektor ( in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_2 \end{eqnarray*}$ ) ist definiert als

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

14.06.2008, 16:11

Dalice66

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Hi Mythos,
meine Frage zielte auf die geschlossene Vektorkette ab, sprich Nullvektor
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$ ,
die ich nach meinem Verständnis gebraucht hätte. Wie ich aber sehe, geht es auch einfacher...

Danke

14.06.2008, 16:12

tmo

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Eine geschlossene Vektorkette brauchst du hier nicht.

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14.06.2008, 16:13

Dalice66

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Hi,
ich habe schon gesehen....

14.06.2008, 16:25

Dalice66

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So,
nun habe ich das mal ausgerechnet. Ich komme aber nicht auf 0, sondern auf -0,7928.... Wo liegt der Fehler?

14.06.2008, 16:31

tmo

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Was hast du denn gerechnet?

14.06.2008, 16:48

Dalice66

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Naja,
ich habe die für mich einleuchtenden Formeln von Riwe übernommen

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{d_1}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{d_2}=\overrightarrow{\frac{b}{2}} + \overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{d_1} * \overrightarrow{d_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{d_1}= 1-\sqrt{2} =-0,4142... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{d_2}= 0,5+\sqrt{2} =1,9142.... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{d_1} * \overrightarrow{d_2} =-0,7928... \end{eqnarray*}$

14.06.2008, 16:53

tmo

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Wie kommst du denn auf die Idee für die Vektoren Zahlen einzusetzen?

Du musst die Vektoren miteinander multiplizieren. Beachte, dass für das Skalarprodukt das Distributivgesetz gilt. Du kannst also genauso ausmultiplizieren, wie bei Klammern mit reellen Zahlen auch.

14.06.2008, 17:58

Dalice66

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Mhh

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{d_1} * \overrightarrow{d_2} =(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})*(\overrightarrow{\frac{b}{2}} + \overrightarrow{a}) \end{eqnarray*}$

14.06.2008, 18:08

tmo

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Und jetzt ausmultiplizieren.

Danach solltest du beachten, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ nach Vorraussetzung orthogonal sind. Weiterhin gilt $\begin{eqnarray*} |\vec{b}| = \sqrt{2} \cdot |\vec{a}| \end{eqnarray*}$

14.06.2008, 18:27

Dalice66

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Ausmultipliziert

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}^2-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}^2-\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}^2-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}^2 \end{eqnarray*}$

14.06.2008, 18:30

tmo

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Warum klatscht du denn hier einfach so die Terme hin? Das ist jetzt zwar richtig, aber du solltest mal erwähnen, wo denn jetzt das Problem liegt. Ich habe dir doch noch 2 Tipps gegeben, wie du das jetzt weiterumformen kannst um letztendlich auf 0 zu kommen.

14.06.2008, 19:20

Dalice66

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Du hast ja recht,
ich bin nicht wirklich gut in Mathe, deswegen die kleinen Schritte...

Ok, dann versuche ich mich mal weiter...

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ würde ich jetzt ausklammern

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}^2 +\overrightarrow{b}^2) \end{eqnarray*}$

Ich sehe die Null immer noch nicht...

14.06.2008, 19:21

tmo

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Was ergibt denn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ ?

14.06.2008, 19:25

Dalice66

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a}*\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$

ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren

14.06.2008, 19:36

tmo

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$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ sind doch orthogonal zueinander. Du weißt doch was dann mit dem Skalarprodukt los ist.

14.06.2008, 19:40

Dalice66

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Ja klar,
das ist dann Null.

14.06.2008, 19:42

tmo

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Genau übrig bleibt also

$\begin{eqnarray*} 2 \vec{a}^2- \vec{b}^2 \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} |\vec{b}| = \sqrt{2} \cdot |\vec{a}| \Longleftrightarrow |\vec{b}|^2 = 2 \cdot |\vec{a}|^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x}^2= |\vec{x}|^2 \end{eqnarray*}$ ist dies auch 0.

Ist dir das jetzt so klar?

14.06.2008, 19:47

Dalice66

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Nun hab' ich's...

viel Dank

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