Kurze Frage zu zerfällungskörpern

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JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Frage zu zerfällungskörpern
Ich schon wieder smile [das wollte ich schon immer mal sagen...]

Habe eine Frage zu Zerfällungskörpern.
Sei K ein Körper und f ein Polynom in K[X]. Dann ist der Zerfällungskörper Z(f) definiert als der kleinste Körper, der K enthält und über dem f in Linearfaktoren zerfällt; also die algebraische Körpererweiterung K(a1,...,an), wobei die ai die Nullstellen sind.

Nun hatte ich in Erinnerung (und hier auf dem Übungsblatt ein paar Zeilen), dass mein Tutor (so formuliert fälschlicherweise) etwas gesagt hat von "jedes Polynom zerfällt in Z(f) in Lin.fkt", was er dann als Kommentar auf dem Übungsblatt zu "jedes Polynom mit einer Nullstelle in Z(f) zerfällt" korrigiert hat, was aber auch falsch sein muss (da ich ja ein über Z(f) irreduzibles Polynom aus K[X] z.B. mit f multiplizieren kann, dann bekomme ich eine NST, aber es zerfällt nicht ganz!).

Könnte die Bedeutugn dahinter sein, dass jedes übe K[X] irreduzible Polynom in Z(f) entweder
a) weiterhin irreduzibel ist
oder b) zerfällt?

oder ist a) zu stark formuliert und es hat
a) entweder keine Nullstelle
oder b) zerfällt komplett?

Kann es also
1. sein, dass das nur für über K[X] irreduzible Polynome gilt?
2. welche der Varianten ist denn richtig und kennt jemand einen Beweis dazu?

Wikipedia lässt mich leider im Stich unglücklich .

Liebgruß,
Jochen
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Aussagen "jedes Polynom zerfällt in Z(f) in Lin.fkt" bzw. "jedes Polynom mit einer Nullstelle in Z(f) zerfällt" sind äquivalent gelten aber nur wenn Z(f) algebraisch abgeschlossen wäre. Das ist aber quatsch wie du schon mit deinem Beispiel gezeigt hast.

Ansonsten kann in Z(f) alles möglich passieren, in K[x] irreduzible Polynome können (teilweise) zerfallen oder auch nicht.

Habe ich das richtig verstanden das wenn dein Tutor von "jedes Polynom" spricht er alle nicht konstanten Polynomen über K meint?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zu zerfällungskörpern
Zitat:
Original von LOED
... und es hat
a) entweder keine Nullstelle
oder b) zerfällt komplett?


Das ist in jedem Fall korrekt. Wenn ein irreduzibles, normiertes Polynom mindestens eine Nullstelle in dem Zerfällungskörper hat, zerfällt es bereits ganz in Linearfaktoren.

(a) könnte scheinbar stärker, aber in Wirklichkeit eine äquivalente Bedingung dazu sein.

Grüße Abakus smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Irreflexiv,

ich bin mir leider selbst nicht mehr sicher, warum er das gesagt hat; spontan hatte ich eben auch gedacht, dass im Zerfällungskörper Z(f) mit Polynomen, die nicht f sind alles passieren kann.
ich erinnere mich wie gesagt an diese beiden Aussagen....

Sehe jetzt aber gerade, es war doch noch einen Schritt weiter.... und damit klärt sich schon ein Teil der Frage....

Wir hatten einen Zerfällungskörper (separabel) und den "Satz vom primitiven Element", nach dem wir dann also ein einziges Element finden konnten, dass Z(f) erzeugt [Z(f)=K(a) für ein a aus dem alg. Abschluss von K].
Dann wollte ich einen Beweis über dieses primitive Element führen (habs dann aber ganz anders gemacht, steht auch irgendwo hier im Board).
Was mich damals interessiert hat, war, ob ich davon ausgehen kann, dass auch das Minimalpolynom (da haben wir die Irreduzibilität) von a zerfällt....


Also zusammengefasst:
Körper K, Polynom f; Z(f) separabel über K
=> Z(f)=K(a) für ein Element a

zerfällt MP(a) über Z(f) und warum?

Hoffe, das ist verständlich.....
danke schon mal für deine Antwort.






edit: ui, Abakus, du auch wieder da *freu*
Das ist also korrekt, dass das irreduzible Polynom zerfällt, wenn es eine NST hat. Weißt du eine Begründung dafür? smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Also zusammengefasst:
Körper K, Polynom f; Z(f) separabel über K
=> Z(f)=K(a) für ein Element a

zerfällt MP(a) über Z(f) und warum?


Das liegt im wesentlichen an der Fortsetzbarkeit von entsprechenden Isomorphismen:

Sei g ein irreduzibles Polynom über mit g(b) = 0. (zB g = MP(a))

Behauptung: g zerfällt bereits ganz in Z(f).

Sei c eine weitere (von b natürlich verschiedene) Nullstelle von g. Dann existiert ein Isomorphismus , der b auf c abbildet und K elementweise fest lässt.

ZF(f)(b) = ZF(f) ist nun der Zerfällungskörper von f über K(b), ZF(f)(c) ist der Zerfällungskörper von f über K(c). Der Isomorphismus lässt sich jetzt auf diese Zerfällungskörper fortsetzen, d.h. es ex. ein Isomorphismus , der K elementweise festhält und b auf c abbildet.

Daraus folgt [Z(f) : K] = [Z(f)(c) : K] und damit . Das war zu zeigen.

Grüße Abakus smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Das liegt im wesentlichen an der Fortsetzbarkeit von entsprechenden Isomorphismen:

Sei g ein irreduzibles Polynom über mit g(b) = 0. (zB g = MP(a))

Behauptung: g zerfällt bereits ganz in Z(f).

Sei c eine weitere (von b natürlich verschiedene) Nullstelle von g. Dann existiert ein Isomorphismus , der b auf c abbildet und K elementweise fest lässt.

okay, bis hier ist noch nichts großartiges geschehen, das ist klar.

Zitat:
ZF(f)(b) = ZF(f) ist nun der Zerfällungskörper von f über K(b), ZF(f)(c) ist der Zerfällungskörper von f über K(c). Der Isomorphismus lässt sich jetzt auf diese Zerfällungskörper fortsetzen, d.h. es ex. ein Isomorphismus , der K elementweise festhält und b auf c abbildet.

Hier muss ich gestehen, bin ich noch etwas verwirrt.
Woher weißt du, dass man das als Isomorphismus zwischen diesen beiden Körpern fortsetzen kann (also vorallem mit Bild Z(f)(c))?



Meine Gedanken:
Nachdem wie wir Körperhomomorphimen bislang fortgesetzt, würde ich mich da verrennen: wir hatten Körperhomomorphismen bislang nur durch Erweitern des Urbildkörpers fortgesetzt (der Bildkörper war "von Anfang an groß genug", also im freundlichsten Falle gleich der algebraische Abschluss).
Hieße auf gutdeutsch:
Ich würde als Homomorphismus von nach auffassen (also Einbettung in den algebraischen Abschluss, isomorph natürlich zum Teilkörper), danach schrittweise K(b) zu Z(f) erweitern, Bilder festlegen (nach den Regeln des Fortsetzens, wenn ich K um a erweitere, bestimme ich das Minimalpolynom des Elements in K[x] und darf a dann auf eine Nullstelle des "Bildes des MP" (komponentenweise Abbildung unter dem bisherigen Homomorphismus) abbilden; jede dieser Abbildungen liefert mir einen erweiterten Homomorphimus) und so schließlich meine Erweiterung bekommen.
Zu zeigen wäre dann ja: ich kann so fortsetzen, dass das Bild von genau Z(f)(c) ist (eingeschränkt auf das Bild ist dann natürlich insbesondere isomorph).

Im Falle, dass b ein primitives Element der KE [Z(f):K] ist wäre nun nur noch zu zeigen, dass das Bild ganz Z(f)(c) ist. Also das K(c)=Z(f)(c) (und somit c selbst auch ein primitives Element sein muss!).... verwirrt (lieber allgemeiner Fall =>)

Im Falle, dass b ein beliebiges Element war (aber aus Z(f)), muss ich das ganze noch um irgendwelche ("vergessenen") Nullstellen aus f erweitern....
Diese haben in erster Linie Nullstellen von f (bzw. da diese ja nicht mehr in K(b) liegen.....), der Reihe nach (bin grad etwas konfus, tut mir leid!):
sei a Nullstelle von f, die nicht in K(b) liegt (um die also noch erweitert werden muss!); dann ist MP(a) ein Teiler von f ("alle Nullstellen, die in K(b) liegen sind weggeworfen"), es hat Koeffizienten in K(b), das "Bild" f* dieses MP hat also Koeffizienten in K(c); als Bilder von a habe ich NST von f* zur Verfügung.....


hmmm, irgendwie sehe ich gerade nicht, worauf das hier hinausläuft....
Vielleicht kannst du mir ja auch eine mir verständliche (am Ende ganz einfache?) Antwort auf die fette Frage oben geben......

Auf jeden Fall vielen Dank an euch beiden smile
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Woher weißt du, dass man das als Isomorphismus zwischen diesen beiden Körpern fortsetzen kann (also vorallem mit Bild Z(f)(c))?


Es geht natürlich genauso andersrum von Z(f)(c) nach Z(f), da es ja ein Isomorphismus ist.

Das wesentliche Argument ist einfach, dass ein Zerfällungskörper bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist (da kann nichts wesentlich verschiedenes rauskommen).

Als Basisidee steckt dahinter, dass es bei einem irreduziblen Polynom f über K und Nullstellen a und b (nicht in K) immer einen Isomorphismus von K(a) nach K(b) gibt, der K elementweise festlässt und a auf b abbildet.
Dies lässt sich induktiv auf den gesamten Zerfällungskörper ausdehnen (Induktion über den Grad der Körpererweiterung).

Grüße Abakus smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das wesentliche Argument ist einfach, dass ein Zerfällungskörper bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist (da kann nichts wesentlich verschiedenes rauskommen).

aber hier gehen wir ja von anderen Körpern aus.... [ohne Vorbedingunegn kämen wir hier ja nicht aus, ich denke da an einfache Gegenbeispiele, z.B. f=x^2-2 aus Q[X]; c=i und dann ist ja , ......]

Dann müsste man dazu doch noch zeigen, dass die Nullstellenmenge von f über K(b) und K(c) "gleiche Gestalt" hat, oder? (das nicht durch b mehr oder weniger "weggefallen" ist als durch die Wahl von c)

Gruß, Jochen





PS: du magst den smile -Smiley, oder? Augenzwinkern
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
aber hier gehen wir ja von anderen Körpern aus.... [ohne Vorbedingunegn kämen wir hier ja nicht aus, ich denke da an einfache Gegenbeispiele, z.B. f=x^2-2 aus Q[X]; c=i und dann ist ja , ......]


Hier ist i keine Nullstelle von f (also kein Gegenbeispiel). Z(f) ist nur bis auf Isomorphie eindeutig, ich könnte auch schreiben .

Benutzt habe ich folgende Sätze beim obigen Beweis, mehr als das brauche ich nicht:

[1] Ist Z(f) der Zerfällungskörper von f über Z, etwa und ist b ein Element aus einer weiteren Erweiterung über Z, dann gilt:

.

(D.h. zuerst b dazunehmen und dann den Zerfällungskörper bilden ist dasselbe wie umgekehrt.)

[2] Fortsetzungssatz I: Sind b und c Nullstellen des irreduziblen Polynoms f über Z, so existiert ein Isomorphismus , der Z elementweise festlässt und b auf c abbildet.

[3] Fortsetzungssatz II: Sind ein Isomorphismus und f ein nichtkonstantes Polynom über , sowie und die jeweiligen Zerfällungskörper von f bzw. , so existiert ein Isomorphismus , der fortsetzt.

(die Version I ist eine Spezialisierung von Version II)

Grüße Abakus smile

PS: smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, über diesen FS-Satz II muss ich echt noch drüber nachdenken, aber mit dem ist es ja an sich dann klar...
hier ist ja schönerweise sogar , da f aus K[x]...

also wie gesagt: mit dem Satz, alles klar, darüber werde ich auf jeden Fall noch im Laufe meiner Lernerei (bin beim Stoffdurchgehen erst wieder am Anfang der Körpergeschichte, an sich finde ich das aber eigentlich vom theoretischen her aller irgendwie ganz logisch und cool) drüber grübeln....
Wenn du nicht gerade noch eine Erklärung für den Satz parat hast (oft verwendet man solche Sätze ja auch nur, weil man sie kennt, weiß die genaue Begründung aber gar nicht?)....
[edit] Nachtrag: Was mich daran insbesondere noch stört, ist, dass f (außer nichtkonstant) beliebig vorausgesetzt ist.
(ich seh das grad anschaulich so: f ist Produkt aus Faktoren der Form (x-bi) (bi irgendwie von b abhängig) und "unabhängigen" (x-aj); f wird dann unter der Bijektion zu einem Produkt von (x-ci) (ci irgendwie von c abhängig) und was aus den
aj wird wissen wir erst nach Fortsetzung der Abbildung, diese bleiben unabhängig; Fortsetzungstechnisch müssen wir dann nur noch diese (x-aj)-Faktoren betrachten, die aber in beiden analog behandelt werden können, da b/c-unabhängig
kann natürlich totaler Mist sein)
[/edit]


Auf jeden Fall weiß ich wenigstens schon mal, wie diese ganze Aussage mit den Zerfällungskörpern und dem Zerfallen war.....

Vielen dank an dich für deine Bemühungen!

Grüße, Jochen

smile (<- der ist schon mal was anderes)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
[3] Fortsetzungssatz II: Sind ein Isomorphismus und f ein nichtkonstantes Polynom über , sowie und die jeweiligen Zerfällungskörper von f bzw. , so existiert ein Isomorphismus , der fortsetzt.


Der Beweis wird mittels Induktion über den Grad der Erweiterung geführt.

Induktionsanfang: Sei , dann liegen die Nullstellen von f in und die Behauptung ist richtig.

Induktionsschritt: Die Behauptung sei nun richtig für beliebige Erweiterungen mit .

Sei nun . Sei ferner f = p * q und p irreduzibel über . Dann ist irreduzibel über und ein Faktor von .

Nun existieren Nullstellen mit p(a) = 0 und . Nach einer ähnlichen Version wie FS I existiert nun ein Isomorphismus , der fortsetzt und a auf b abbildet.

Es ist der Zerfällungskörper von f über und der Zerfällungskörper von über . Der Grad der Erweiterung ist nach Gradformel kleiner als (n+1), nach IV kann demnach zu einem Isomorphismus fortgesetzt werden.

Das war zu zeigen.

Grüße Abakus smile

PS: @ Jochen: du hast sicher gemerkt, dass hier noch eine andere Variante der einfacheren Version des Fortsetzungssatzes eingeht. Big Laugh
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

So in der Form der Induktion irgendwie ganz naheliegend der Beweis (das Beweisschema kommt mir doch sehr bekannt vor: das ganze mit einer Nullstelle durchführen, damit den Grad um mindestens 1 reduzieren und die I.V. anwenden; das habe ich in meinem Skriptum schon desöfteren gelesen....
das werde ich mir auf jeden Fall noch genauestens anschauen!)
Der hier angesprochene "einfache" Fortsetzungssatz entspricht ja einer "normalen" Fortsetzung, wie wir sie auch hatten, und da Z1 und Z2 isomorph sind, ist das ja fast, als würden wir den Grundkörper gleich lassen.... (naja, mathematisch nicht ganz sauber, aber der Satz ist klar, insbesondere wie man die Elemente aus Z1(a) überführt, das sind ja nur Summen aus Koeffizient aus Z1 * Potenz von a....). Das das auch noch surjektiv ist, kriege ich gerade noch hin....

Vielen Dank, ich fürchte, ich muss mich mit meinem Studium beeilen, wenn ich mich mal bei dir revanchieren will.... smile

Liebgruß, Jochen

PS: die vergessenen Indizes hast grad noch nachgereicht sehe ich Wink
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich hol den noch mal hoch, das ist einfach irgendwie zu einfach, um es hier nicht zu posten:

Bezeichungen: L|K Körpererweiterung, L' algebraischer Abschluss

Sei L endliche und normale KE über K (endlich, hmmm, weiß nicht, ob man das braucht), also z.B. ein Zerfällungskörper eines Polynoms f aus K[X], dann sind alle K-linearen Homomorphismen von L in den algebr. Abschluss Automorphismen von L.
Beweis ist nicht schwer, im Endeffekt sind ja nur bestimmte Permutationen der Nullstellen erlaubt (die K-Homomorphismengruppe von L lässt sich in die Sn einbetten, n Grad(f)).

Sei nun g irreduzibel in K[X] und a NST von g in L.
Dann kann ich L auch als Erweiterung von K(a) auffassen. Dabei kann ich dann die Identität auf K auf K(a) nach L' fortsetzen, indem ich eine beliebige NST von g in L' als Bild wähle (g ist MinPol von a in L).
Annahme: Sei nun b NST von g nicht in L, dann kann ich den Hom., der a auf b schickt (id auf K) auf L fortsetzen und bekomme einen Nichtautomorphismus von L.

Widerspruch. smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich so schnell nicht. Die Existenz und Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie) des algebraische Abschlusses L' muss hier ja auch erstmal gezeigt werden (dazu brauchst du vermutlich das Zormsche Lemma o.ä.). Ebenso ist es mit der Fortsetzbarkeit von Homomorphismen auf ganz L'.

Mit dem algebraischen Abschluss zu argumentieren, halte ich hier jedenfalls für schwieriger. Ein K-linearer Homomorphismus von L in L' ist ja i.A. kein Automorphismus von L. Z.B. ist kein Automorphismus in .

Ansonsten denke ich verwendest du ein ähnliches Prinzip wie im Fortsetzungssatz II oben.

Grüße Abakus smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte das auch nur der Vollständigkeit halber nachgetragen haben..... aber dann doch noch ein paar Worte:
Hmm, Existenz und Eindeutigkeit sind gezeigt. Und dafür wurde nicht Zorn verwendet, wenn ich mich recht entsinne, aber der Beweis war recht eklig lang. *grml*

Und richtig, im Allgemeinen ist er das nicht; ist L ein Zefällungskörper von K dann aber schon, denn dann werde wirklich nur die Nullstellen permutiert (und ein Element das aus einer Verkettung von Elementen aus K und Nullstellenpotenzen besteht, wird wieder so ein Objekt; da Zerfällungskörper sind diese Nullstellen freundlicherweise wieder alle aus L smile ).
Wenn du magst baue ich das nach Dienstag noch mal genauer aus.



Ganz am Rande, was für Q-lineare Homomorphismen gibt es denn zwischen den beiden von dir genannten Körpern?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte hier an die folgenden beiden Homomorphismen ( ist fix, ansonsten geeignet fortsetzen) mit:



und

.

Grüße Abakus smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »




möp smile




edit: mit , ich wusste bis eben nicht, welches das entsprechende TexZeichen ist
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte hier nur den VR der -linearen Abbildungen im Hinterkopf verwirrt . Körperhomomorphismen - die u.a. die Multiplikation respektieren - sind das nicht.

Grüße Abakus smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, wir haben auch K-Lineare Homomorphismen definiert, als Körperhomomorphismen, die K festlassen.

Als zwei-dim Vektorraum über Q sind die beiden Strukturen natürlich isomorph.

da haben wir aneinander vorbeigeredet. Wink
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