Element aus Quotientenkörper als Polynom schreiben

13.06.2008, 16:08

Muffi

Element aus Quotientenkörper als Polynom schreiben

Hi,

ich habe eine algebraische Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , deren Minimalpolynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} \mu_{\alpha}=x^4+2x^3+3x^2+4x+5 \end{eqnarray*}$ . Nun soll ich $\begin{eqnarray*} \frac{1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3}{1-\alpha-\alpha^2+\alpha^3}\in\mathbb{Q}(\alpha) \end{eqnarray*}$ in einem polynomiellen Ausdruck schreiben, also in der Form $\begin{eqnarray*} a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\alpha) \end{eqnarray*}$ meint bei uns den Quotientenkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\alpha] \end{eqnarray*}$ .

Ich kann im Moment noch nichts mit dem Minimalpolynom bei der Aufgabe anfangen. Dass das Minimalpolynom den Kern des Einsetzungshomomorphismus erzeugt, ist mir klar. Aber ich weiß nicht, welchen Hinweis ich dadurch bekomme...

13.06.2008, 21:23

Leopold

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RE: Element aus Quotientenkörper als Polynom schreiben

Zitat:

Original von Muffi
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\alpha) \end{eqnarray*}$ meint bei uns den Quotientenkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\alpha] \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}[\alpha] \end{eqnarray*}$

Der Ring ist hier schon ein Körper.

Zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3}{1 - \alpha - \alpha^2 + \alpha^3} = \frac{(\alpha+1)+\alpha^2 (\alpha+1)}{1 - \alpha^2 - \alpha (1 - \alpha^2)} = \frac{(\alpha+1)(\alpha^2+1)}{(1 - \alpha^2)(1-\alpha)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\alpha+1)(\alpha^2+1)}{(1 - \alpha)^2(1+\alpha)} = \frac{\alpha^2 + 1}{(\alpha-1)^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du das Inverse von $\begin{eqnarray*} \alpha - 1 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wenn dir nichts Besseres einfällt, könntest du den Ansatz

$\begin{eqnarray*} (\alpha - 1)(p + q \alpha + r \alpha ^2 + s \alpha^3) = 1 \end{eqnarray*}$

mit noch zu bestimmenden Koeffizienten $\begin{eqnarray*} p,q,r,s \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ machen. Wenn du die linke Seite ausmultiplizierst und dann $\begin{eqnarray*} \alpha^4 \end{eqnarray*}$ gemäß der definierenden Relation ersetzt, bekommst du ein Polynom dritten Grades in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Ein Koeffizientenvergleich liefert dir ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} p,q,r,s \end{eqnarray*}$ . Das Polynom für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha - 1} \end{eqnarray*}$ dann quadrieren und mit $\begin{eqnarray*} \alpha^2 + 1 \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Du bekommst ein Polynom vom Grade 8 in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Dann modulo der definierenden Relation reduzieren (Polynomdivision mit Rest). So bekommst du das Gewünschte.

Es mag noch einfacher gehen. Ich sehe im Moment allerdings nicht wie.

14.06.2008, 14:20

Muffi

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RE: Element aus Quotientenkörper als Polynom schreiben

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} = \frac{(\alpha+1)(\alpha^2+1)}{(1 - \alpha)^2(1+\alpha)} = \frac{\alpha^2 + 1}{(\alpha-1)^2} \end{eqnarray*}$

Du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} = \dots = \frac{(\alpha+1)(\alpha^2+1)}{(1 - \alpha)^2(1+\alpha)} = \frac{\alpha^2 + 1}{(1-\alpha)^2} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Ich bin dann deinem Rat mit dem Koeffizientenvergleich gefolgt und habe entsprechend $\begin{eqnarray*} (1-\alpha)^{-1}=\frac{1}{15}\alpha^3+\frac{1}{5}\alpha^2+\frac{2}{5}\alpha+\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ berechnet.

Wenn ich nun den Bruch aus der Aufgabenstellung erweitere, erhalte ich das Polynom achten Grades: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{225}\alpha^8+\frac{2}{75}\alpha^7+\frac{22}{225}\alpha^6+\frac{62}{225}\alpha^5+\frac{13}{25}\alpha^4+\frac{176}{225}\alpha^3+\frac{196}{225}\alpha^2+\frac{8}{15}\alpha^+\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt habe ich nur keine Ahnung, wie ich hier modulo-Rechnen soll bzw. welche Division ich ausführen soll.

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