Senkrechte Projektion

09.03.2006, 21:21

bunny2

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Senkrechte Projektion

Hallo Leute!

Wir haben in Geo grad die senkrechte Projektion durchgenommen und gleich mal ne Hausaufgabe aufbekommen, die ich nicht so ganz verstehe, zumindest zum Teil.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow a = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow b = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Bestimme $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {a_{b}} \end{eqnarray*}$ , die Projektion von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \overrightarrow a \end{eqnarray*}$ . Das glaub ich hab ich noch hingekriegt, meine Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {a_{b}}=\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{5}{9} \\ \frac{1}{9} \\ -\frac{1}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Bestimme $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b_{a} \end{eqnarray*}$ , die Projektion von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow a \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b \end{eqnarray*}$ . Da krieg ich dann raus: $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b_{a}=\overrightarrow b \end{eqnarray*}$ (s.o.)

c)Welche Besonderheiten haben $\begin{eqnarray*} \overrightarrow a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b \end{eqnarray*}$ , wenn gilt $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b_{a}=\overrightarrow b=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Und hier hackts, das kapier ich nicht unglücklich

unglücklich

Kann mir da bitte einer nen Tipp geben?

Danke,

bunny2

09.03.2006, 21:39

as_string

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RE: Senkrechte Projektion
Hallo!

Irgendwie komme ich da nicht ganz mit... Ich habe auf jeden Fall was anderes raus!
Du mußt doch dann so was hier rechnen (bei der a), z. B.):
$\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{b}\right| \end{eqnarray*}$
Ich habe für die Beträge aber das hier raus:
$\begin{eqnarray*} \left|\vec{a}\right| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left|\vec{b}\right| = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
und bekomme dann für:
$\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß
Marco

09.03.2006, 21:42

mYthos

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Hi!

Zu c)

Ich würde sagen: $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}^2 \end{eqnarray*}$

mY+

09.03.2006, 21:46

mYthos

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RE: Senkrechte Projektion

Zitat:

Original von as_string
...
$\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{b}\right| \end{eqnarray*}$

Dem kann ich nicht zustimmen. Da fehlt noch der $\begin{eqnarray*} cos(\phi) \end{eqnarray*}$ bzw. funktioniert das über den Wert des skalaren Produktes.

Ich finde, dass a) und b) von bunny richtig berechnet wurde!

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a_b}| = |\vec{b}| \cdot |\vec{b_a}| \end{eqnarray*}$

mY+

09.03.2006, 22:01

as_string

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RE: Senkrechte Projektion
Hallo!

Ja, klar! Mein Fehler!
Ich hatte an so was gedacht wie hier:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}\,\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|^2} = \left(5-1-1\right)\frac{\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix}}{27} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Da war ich wohl etwas zu schnell... Wie geht das eigentlich einfacher/schneller zu rechnen? Habe den Eindruck, dass Ihr das viel einfacher rechnet, zumindest?

Gruß
Marco

09.03.2006, 22:22

mYthos

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Also ich hab's genau so gerechnet wie du, nämlich über das Skalarprodukt, einfacher wird's sicher nicht, wenn man's anders rechnet.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a_b}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{a_b}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \cdot \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a}^2} \cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile isses!
Nett!

mY+

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10.03.2006, 00:27

Ben Sisko

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \cdot \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \end{eqnarray*}$

Hallo mythos,

warum kommt den $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \end{eqnarray*}$ bei dir im Nenner zweimal?

Das Skalarprodukt gibt doch die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ in Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ an. D.h. wir haben schonmal die richtige Länge. Dann müssen wir noch mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ selbst multiplizieren, um in die richtige Richtung zu kommen und dann noch durch $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \end{eqnarray*}$ dividieren (also $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ normieren), um die schon richtige Länge nicht wieder kaputt zu machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde also $\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ für richtig halten.

Gruß vom Ben

PS: Komische Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \vec{a_b} \end{eqnarray*}$ für die Projektion von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ . Ich würde $\begin{eqnarray*} \vec{b_a} \end{eqnarray*}$ wählen...

10.03.2006, 01:06

as_string

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Nee, Captain!

Das Skalarprodukt ist |a|*|b|*cos(zw. a und b). Die Länge der Projektion ist aber nur |b| mal den Kosinus, d. h. einmal |a| ist zu viel, weshalb man den nochmal weg kürzen muß. Ist aber nicht weiter schlimm, weil man ja beim Betrag rechnen so wie so erstmal das Quadrat des Betrags raus bekommt...

Gruß
Marco

10.03.2006, 01:56

mYthos

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Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \cdot \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \end{eqnarray*}$

Hallo mythos,

warum kommt den $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \end{eqnarray*}$ bei dir im Nenner zweimal?
...

Hallo Ben!

Das erste $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \end{eqnarray*}$ kommt wegen der Definition des Skalarproduktes beim Umstellen in den Nenner.
Das zweite $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \end{eqnarray*}$ kommt von der Normierung des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , der ist ja erst auf die Länge 1 zu bringen, damit man dann das $\begin{eqnarray*} |\vec{a_b}| \end{eqnarray*}$ - fache des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auf ihm auftragen kann.

Zitat:

Original von Ben Sisko
...
Das Skalarprodukt gibt doch die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ in Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ an.
...

Das finde ich unrichtig, denn das Skalarprodukt ist Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ mal Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ in Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ . Eben aus diesem Grund muss man dann noch durch $\begin{eqnarray*} |\vec{a}| \end{eqnarray*}$ dividieren.

Zitat:

Original von Ben Sisko
...
Ich würde also $\begin{eqnarray*} \vec{a_b} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ für richtig halten.
...

Stimmt aus o.a. Grund leider nicht!
Wenn wir nochmals das ursprüngliche Beispiel hernehmen, zeigt dessen Ergebnis doch die Richtigkeit meiner Formel.

Zitat:

Original von Ben Sisko
...
PS: Komische Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \vec{a_b} \end{eqnarray*}$ für die Projektion von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ . Ich würde $\begin{eqnarray*} \vec{b_a} \end{eqnarray*}$ wählen......

Finde ich auch, ich hab's nur im Interesse von FragestellerIn nicht umändern wollen.

Gr
mYthos

10.03.2006, 02:12

Ace Piet

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(Kühne Behauptung)
Im vorliegenden Fall scheint mir die Bedeutung des Skalarproduktes nicht klar geworden zu sein.

Sind a und b zwei Vektoren (man zeichne das *bitte* nach!!), dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und ein n (senkrecht auf a), sodaß gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot a + n = b \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot a \end{eqnarray*}$ darf man als (senkrechte) Projektion von b -auf- a bezeichnen und sofern a eine "Norm"Länge besitzt, etwa =1, hat $\begin{eqnarray*} b_a \end{eqnarray*}$ (gelesen: Projektion von b auf a) eine Bedeutung $\begin{eqnarray*} |b_a| = |\lambda \cdot a |= |\lambda| \end{eqnarray*}$ . - Dies zum geometrischen Zusammenhang, den jeder an einem rechtwinkligen Dreieck zusammenbringt.

Nu machen wir (skalarprod.mäßig) ein ... | $\begin{eqnarray*} \cdot a \end{eqnarray*}$

Damit: $\begin{eqnarray*} a \cdot b =\lambda \cdot |a|^2 \end{eqnarray*}$
und schon ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Länge der Projektion von b -auf- a, sofern $\begin{eqnarray*} |a| = 1 \end{eqnarray*}$ .

(Themenwchsel)
Projiziert man umgekehrt ein a -auf- b, so kommt man per $\begin{eqnarray*} a \cdot b = \mu \cdot |b|^2 \end{eqnarray*}$ , auf die Idee, daß i.allg. $\begin{eqnarray*} b_a \neq a_b \end{eqnarray*}$ gilt. - Die "Normlatte" hat sich halt geändert.

Und über $\begin{eqnarray*} a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot cos (eingeschl.Winkel) \end{eqnarray*}$ darf weiter gerätselt werden...

Wink

Wink

___________________

P.S.: ... Da läßt der Vadder under dem Weihnachsbaum ein krachen und da wissen die Kinner, dass auch kleine Dinge grosse Freude machen... *MUHAHA*

10.03.2006, 05:20

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Das Skalarprodukt gibt doch die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ in Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ an.

Da hab ich mich wohl vertan (es trog die Erinnerung), die cos-Definition des Skalarprodukts macht's klar.

Ich sollte nicht mehr im Geometrie-Forum posten Big Laugh

Big Laugh

Augenzwinkern

10.03.2006, 14:04

mYthos

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@Ace Piet

Du hast die Formel eben (elegant) mit den Weg über die Normale nachgewiesen, nichtsdestoweniger ist sie richtig.

Und über die Bedeutung des Skalarproduktes muss man eigentlich nicht rätseln, denn dieses ist klar definiert. Insbesondere gilt dabei die Distributivität bezüglich der Vektoraddition und $\begin{eqnarray*} \vec{v}^2 = |\vec{v}|^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun im Vektordreieck $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} (\vec{a},\vec{b}) = \phi \end{eqnarray*}$ den COS-Satz anwendet, erhält man

$\begin{eqnarray*} (\vec{a} - \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \cdot |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot cos(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} +\vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \cdot |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot cos(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot cos(\phi) \end{eqnarray*}$

Und schon kein Rätsel mehr.

mY+

10.03.2006, 20:04

bunny2

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Hallo Leute!

Erstmal danke für die vielen Posts hier smile

smile

Aber ganz hab ich das, was MYthos geschireben hat, immer noch nicht kapiert.... verwirrt

verwirrt

Warum gilt denn dann $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = \vec {b^2} \end{eqnarray*}$

Somit wär doch dann $\begin{eqnarray*} \vec a = \vec b \end{eqnarray*}$ , oder?

Und das kann ja nicht sein, denn bei der Winkelberechnung, den die beiden einschließen komm ich auf nen Winkel von ca. 70° verwirrt

verwirrt

Auf alle Fälle schon mal ein rießiges DANKE für die vielen Posts!

Wär lieb, wenn mir das noch einer erklären könnte smile

smile

VlG

bunny2

10.03.2006, 22:33

mYthos

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Hallo!

Du unterliegst einem krassen Fehlschluss, da man die Faktoren aus einem skalaren Produkt keinesfalls kürzen bzw. ein skalares Produkt (welches ja eine Zahl ist) nicht "rückwirkend" durch einen Vektor dividieren kann! Mit anderen Worten, die skalare Multiplikation ist nicht umkehrbar!

Aus

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ folgt im Allgemeinen NICHT

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{c} = 6 + 20 = 26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} \cdot \vec{c} = -4 + 30 = 26 \end{eqnarray*}$

und dennoch ist $\begin{eqnarray*} \vec{a} \neq \vec{b} \end{eqnarray*}$ !

--------------------------------

So, nun zu der Frage c)

Analog zu der dir vorhin gezeigten Formel für $\begin{eqnarray*} \vec{a_b} \end{eqnarray*}$ lautet diese für $\begin{eqnarray*} \vec{b_a} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{b_a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b}^2} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$

Nun soll $\begin{eqnarray*} \vec{b_a} = \vec{b} \end{eqnarray*}$ sein; wenn wir dies oben einsetzen, sehen wir sofort, dass die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b}^2} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$

nur gilt, wenn der Bruch den Wert 1 hat, demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 \end{eqnarray*}$ .
°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Diese Beziehung kannst du ja noch an Hand deiner Angaben überprüfen:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Verlauf der Rechnung erkannten wir, dass $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{b_a} \end{eqnarray*}$ .

Berechnen wir $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{b}^2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}^2 = 3 \end{eqnarray*}$

und wir erkennen die Richtigkeit der Beziehung.

mY+

13.03.2006, 19:01

bunny2

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Hallo Mythos!

Erstmal danke für die ausführliche Antwort!!!! Mein Problem ist nur, dass ich nicht auf die von dir verwendete Formel komme traurig

traurig

Ich habs die ganze Zeit jetzt versucht, nachzuvollziehen, wie du auf

$\begin{eqnarray*} \vec {b_a}=\frac{\vec a \cdot \vec b}{\vec b^2} \cdot \vec b \end{eqnarray*}$

kommst, aber ich komm nicht dahinter unglücklich

unglücklich

In der Schule hatten wir ein Arbeitsblatt bekommen, da haben wir die ganzen Formeln hergeleitet:

Die Betragstriche stehen immer für die Länge des Vektors, das $\begin{eqnarray*} \vec {a^0} \end{eqnarray*}$ ist der Einheitsvektor von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{|\vec {a_b}|}{|\vec b|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec {a_b} = |\vec b| * cos \alpha * \vec {a^0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec {a_b}= |\vec b| cos \alpha \end{eqnarray*}$

Soweit komm ich ja noch mit, aber dann kommt:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| * |\vec {a_b}| \end{eqnarray*}$

Und daraus soll dann irgendwie folgen, dass:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec {a_b} = |\vec a| * |\vec {a_b}|* cos Winkel(\vec a; \vec {a_b})=|\vec a|*|\vec {a_b}|=\vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$

Dann kommt noch ne Zeile mit:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec {a_b} = |\vec a| * |\vec {a_b}| \end{eqnarray*}$

Und mehr haben wir dazu nicht aufgeschrieben... verwirrt

verwirrt

Und irgendwie versteh ich leider gar nichts mehr unglücklich

unglücklich

Wär echt dankbar, wenn noch jemand (gerne auch du Mythos) den Versuch starten könnte, dass ich das doch noch kapiere!!!!

DANKE!!!

bunny2

13.03.2006, 20:24

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bunny2
...
$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{|\vec {a_b}|}{|\vec b|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec {a_b} = |\vec b| * cos \alpha * \vec {a^0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec {a_b}= |\vec b| cos \alpha \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt schon nicht mehr, weil das nur eine Zahl und kein Vektor ist, da wurde was vergessen:

$\begin{eqnarray*} \vec{a_b}= |\vec{b}| cos \alpha \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a_0}|} \end{eqnarray*}$

Zitat:

...
Soweit komm ich ja noch mit, aber dann kommt:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| * |\vec {a_b}| \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt, denn das ist Definition des skalaren Produktes!

Zitat:

...
Und daraus soll dann irgendwie folgen, dass:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec {a_b} = |\vec a| * |\vec {a_b}|* cos Winkel(\vec a; \vec {a_b})=|\vec a|*|\vec {a_b}|=\vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$
...

Das beruht darauf, dass der Winkel von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {a_b} \end{eqnarray*}$ Null beträgt, und dessen COS ist 1.

Zitat:

...
Dann kommt noch ne Zeile mit:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec {a_b} = |\vec a| * |\vec {a_b}| \end{eqnarray*}$
...

Das ist die Quintessenz all dessen; es genügt eigentlich, nur dies zu kennen. Der cos fällt deswegen weg, weil die Vektoren in einer Linie liegen und deren Winkel 0 ist; cos(0) = 1.

Und jetzt, gib' acht: Das kannst das jetzt auch auf die Frage c umbauen:

Zitat:

Original von bunny2
...
c)Welche Besonderheiten haben $\begin{eqnarray*} \overrightarrow a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b \end{eqnarray*}$ , wenn gilt $\begin{eqnarray*} \overrightarrow b_{a}=\overrightarrow b=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
bunny2

1. $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec {a_b} \end{eqnarray*}$
oder
2. $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec {b_a} \end{eqnarray*}$

Setze darin lt. Angabe nun

$\begin{eqnarray*} \vec{b_a}=\vec{b} \end{eqnarray*}$ , was kommt?
-->
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{b}^2 \end{eqnarray*}$

und das ist wiederum dieses Ergebnis, welches du mir partout nicht glauben kannst ... Big Laugh

Big Laugh

Es gibt noch eine geometrische Definition dieses Sachverhaltes: Die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ bilden (mit ihren Spitzen verbunden) ein rechtwinkeliges Dreieck. Skizze!

mY+

13.03.2006, 20:42

bunny2

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Jetzt endlich hab ich es kapiert!!!!! Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Recht herzlichen Dank an dich, dass du nicht aufgegeben hast!!!! Mit Zunge

Mit Zunge

JUBEL

Big Laugh

Und stimmt, bei der dritten Zeile aus dem ersten Zitat von dir hab ich links die Betragstriche vergessen, dann ist beides wieder ne Zahl und es stimmt smile

smile

Echt herzlichen DANK!!

bunny2

1

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