Senkrechte Projektion |
09.03.2006, 21:21 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Senkrechte Projektion Wir haben in Geo grad die senkrechte Projektion durchgenommen und gleich mal ne Hausaufgabe aufbekommen, die ich nicht so ganz verstehe, zumindest zum Teil. a) Bestimme , die Projektion von in Richtung . Das glaub ich hab ich noch hingekriegt, meine Lösung ist: b) Bestimme , die Projektion von in Richtung . Da krieg ich dann raus: (s.o.) c)Welche Besonderheiten haben und , wenn gilt ? Und hier hackts, das kapier ich nicht Kann mir da bitte einer nen Tipp geben? Danke, bunny2 |
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09.03.2006, 21:39 | as_string | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Senkrechte Projektion Hallo! Irgendwie komme ich da nicht ganz mit... Ich habe auf jeden Fall was anderes raus! Du mußt doch dann so was hier rechnen (bei der a), z. B.): Ich habe für die Beträge aber das hier raus: und bekomme dann für: Gruß Marco |
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09.03.2006, 21:42 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hi! Zu c) Ich würde sagen: mY+ |
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09.03.2006, 21:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Senkrechte Projektion
Dem kann ich nicht zustimmen. Da fehlt noch der bzw. funktioniert das über den Wert des skalaren Produktes. Ich finde, dass a) und b) von bunny richtig berechnet wurde! mY+ |
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09.03.2006, 22:01 | as_string | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Senkrechte Projektion Hallo! Ja, klar! Mein Fehler! Ich hatte an so was gedacht wie hier: Da war ich wohl etwas zu schnell... Wie geht das eigentlich einfacher/schneller zu rechnen? Habe den Eindruck, dass Ihr das viel einfacher rechnet, zumindest? Gruß Marco |
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09.03.2006, 22:22 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also ich hab's genau so gerechnet wie du, nämlich über das Skalarprodukt, einfacher wird's sicher nicht, wenn man's anders rechnet. Die letzte Zeile isses! Nett! mY+ |
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10.03.2006, 00:27 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo mythos, warum kommt den bei dir im Nenner zweimal? Das Skalarprodukt gibt doch die Länge von in Richtung von an. D.h. wir haben schonmal die richtige Länge. Dann müssen wir noch mit selbst multiplizieren, um in die richtige Richtung zu kommen und dann noch durch dividieren (also normieren), um die schon richtige Länge nicht wieder kaputt zu machen Ich würde also für richtig halten. Gruß vom Ben PS: Komische Bezeichnung für die Projektion von auf . Ich würde wählen... |
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10.03.2006, 01:06 | as_string | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nee, Captain! Das Skalarprodukt ist |a|*|b|*cos(zw. a und b). Die Länge der Projektion ist aber nur |b| mal den Kosinus, d. h. einmal |a| ist zu viel, weshalb man den nochmal weg kürzen muß. Ist aber nicht weiter schlimm, weil man ja beim Betrag rechnen so wie so erstmal das Quadrat des Betrags raus bekommt... Gruß Marco |
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10.03.2006, 01:56 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Ben! Das erste kommt wegen der Definition des Skalarproduktes beim Umstellen in den Nenner. Das zweite kommt von der Normierung des Vektors , der ist ja erst auf die Länge 1 zu bringen, damit man dann das - fache des Vektors auf ihm auftragen kann.
Das finde ich unrichtig, denn das Skalarprodukt ist Länge von mal Länge von in Richtung von . Eben aus diesem Grund muss man dann noch durch dividieren.
Stimmt aus o.a. Grund leider nicht! Wenn wir nochmals das ursprüngliche Beispiel hernehmen, zeigt dessen Ergebnis doch die Richtigkeit meiner Formel.
Finde ich auch, ich hab's nur im Interesse von FragestellerIn nicht umändern wollen. Gr mYthos |
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10.03.2006, 02:12 | Ace Piet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
(Kühne Behauptung) Im vorliegenden Fall scheint mir die Bedeutung des Skalarproduktes nicht klar geworden zu sein. Sind a und b zwei Vektoren (man zeichne das *bitte* nach!!), dann existiert ein und ein n (senkrecht auf a), sodaß gilt: Dieses darf man als (senkrechte) Projektion von b -auf- a bezeichnen und sofern a eine "Norm"Länge besitzt, etwa =1, hat (gelesen: Projektion von b auf a) eine Bedeutung . - Dies zum geometrischen Zusammenhang, den jeder an einem rechtwinkligen Dreieck zusammenbringt. Nu machen wir (skalarprod.mäßig) ein ... | Damit: und schon ist die Länge der Projektion von b -auf- a, sofern . (Themenwchsel) Projiziert man umgekehrt ein a -auf- b, so kommt man per , auf die Idee, daß i.allg. gilt. - Die "Normlatte" hat sich halt geändert. Und über darf weiter gerätselt werden... ___________________ P.S.: ... Da läßt der Vadder under dem Weihnachsbaum ein krachen und da wissen die Kinner, dass auch kleine Dinge grosse Freude machen... *MUHAHA* |
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10.03.2006, 05:20 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Da hab ich mich wohl vertan (es trog die Erinnerung), die cos-Definition des Skalarprodukts macht's klar. Ich sollte nicht mehr im Geometrie-Forum posten |
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10.03.2006, 14:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
@Ace Piet Du hast die Formel eben (elegant) mit den Weg über die Normale nachgewiesen, nichtsdestoweniger ist sie richtig. Und über die Bedeutung des Skalarproduktes muss man eigentlich nicht rätseln, denn dieses ist klar definiert. Insbesondere gilt dabei die Distributivität bezüglich der Vektoraddition und . Wenn man nun im Vektordreieck , , mit dem Winkel den COS-Satz anwendet, erhält man Und schon kein Rätsel mehr. mY+ |
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10.03.2006, 20:04 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Leute! Erstmal danke für die vielen Posts hier Aber ganz hab ich das, was MYthos geschireben hat, immer noch nicht kapiert.... Warum gilt denn dann Somit wär doch dann , oder? Und das kann ja nicht sein, denn bei der Winkelberechnung, den die beiden einschließen komm ich auf nen Winkel von ca. 70° Auf alle Fälle schon mal ein rießiges DANKE für die vielen Posts! Wär lieb, wenn mir das noch einer erklären könnte VlG bunny2 |
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10.03.2006, 22:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo! Du unterliegst einem krassen Fehlschluss, da man die Faktoren aus einem skalaren Produkt keinesfalls kürzen bzw. ein skalares Produkt (welches ja eine Zahl ist) nicht "rückwirkend" durch einen Vektor dividieren kann! Mit anderen Worten, die skalare Multiplikation ist nicht umkehrbar! Aus folgt im Allgemeinen NICHT Beispiel: ; ; und dennoch ist ! -------------------------------- So, nun zu der Frage c) Analog zu der dir vorhin gezeigten Formel für lautet diese für : Nun soll sein; wenn wir dies oben einsetzen, sehen wir sofort, dass die Beziehung nur gilt, wenn der Bruch den Wert 1 hat, demnach gilt: . °°°°°°°°°°°°°°°°°° Diese Beziehung kannst du ja noch an Hand deiner Angaben überprüfen: Im Verlauf der Rechnung erkannten wir, dass . Berechnen wir und und wir erkennen die Richtigkeit der Beziehung. mY+ |
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13.03.2006, 19:01 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Mythos! Erstmal danke für die ausführliche Antwort!!!! Mein Problem ist nur, dass ich nicht auf die von dir verwendete Formel komme Ich habs die ganze Zeit jetzt versucht, nachzuvollziehen, wie du auf kommst, aber ich komm nicht dahinter In der Schule hatten wir ein Arbeitsblatt bekommen, da haben wir die ganzen Formeln hergeleitet: Die Betragstriche stehen immer für die Länge des Vektors, das ist der Einheitsvektor von . Soweit komm ich ja noch mit, aber dann kommt: Und daraus soll dann irgendwie folgen, dass: Dann kommt noch ne Zeile mit: Und mehr haben wir dazu nicht aufgeschrieben... Und irgendwie versteh ich leider gar nichts mehr Wär echt dankbar, wenn noch jemand (gerne auch du Mythos) den Versuch starten könnte, dass ich das doch noch kapiere!!!! DANKE!!! bunny2 |
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13.03.2006, 20:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das stimmt schon nicht mehr, weil das nur eine Zahl und kein Vektor ist, da wurde was vergessen:
Das stimmt, denn das ist Definition des skalaren Produktes!
Das beruht darauf, dass der Winkel von und Null beträgt, und dessen COS ist 1.
Das ist die Quintessenz all dessen; es genügt eigentlich, nur dies zu kennen. Der cos fällt deswegen weg, weil die Vektoren in einer Linie liegen und deren Winkel 0 ist; cos(0) = 1. Und jetzt, gib' acht: Das kannst das jetzt auch auf die Frage c umbauen:
1. oder 2. Setze darin lt. Angabe nun , was kommt? --> und das ist wiederum dieses Ergebnis, welches du mir partout nicht glauben kannst ... Es gibt noch eine geometrische Definition dieses Sachverhaltes: Die beiden Vektoren und bilden (mit ihren Spitzen verbunden) ein rechtwinkeliges Dreieck. Skizze! mY+ |
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13.03.2006, 20:42 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jetzt endlich hab ich es kapiert!!!!! Recht herzlichen Dank an dich, dass du nicht aufgegeben hast!!!! JUBEL Und stimmt, bei der dritten Zeile aus dem ersten Zitat von dir hab ich links die Betragstriche vergessen, dann ist beides wieder ne Zahl und es stimmt Echt herzlichen DANK!! bunny2 |
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