Spalte vertauschen in Matrix

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Spalte vertauschen in Matrix
Hallo,

Die Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der multilinearen Algebra:
Vertauscht man zwei Spalten einer n × n-Matrix, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

Lösung:

Sei eine -Matrix und sei der zugehörige Endomomorphismus.
Das Vertauschen der -ten Spalte mit der -ten Spalte von ist äquivalent mit der Vorausführung eines weiteren
Endomorphismus , der alle Basiselemente von , Basis von , wieder auf sich abbildet, bis auf das -te und -te Basiselement, für die gilt:



Nun gilt nach 12.6-4.1 ( ):







Da f irgendeine alternierende multilineare Abbildung ist gilt:








Gibts was zu meckern?

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spalte vertauschen in Matrix
Zitat:
Original von Roman Föll
Gibts was zu meckern?


Ja. Warum vertauschst du zwei aufeinanderfolgende Spalten? Das ist völlig unnötig. Außerdem finde ich deinen Beweisansatz nicht schön. Warum verwendest du nicht, dass die Determinantenfunktion eine normierte, alternierende Multilinearform ist (da hast du das Wort "Multi" dabei)?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

danke für deine Antwort. Das mit den aufeinanderfolgenden Spalten ist natürlich blödsinn.
Hm, also würde deiner Meinung nach die Aussage langen:

Die Determinantenfunktion ist eine normierte, alternierende Multilinearform und das Spaltenvertauschen zweier Spalten in einer Matrix ist gleichbedeutend mit dem Vertauschen zweier Komponenten der Funktion im Zähler. Das Vertauschen zweier Komponenten hat aber automatisch zur Folge, dass sich das Vorzeichen der Funktion ändert.

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

So ähnlich. Warum brauchst du einen Zähler und einen Nenner?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spalte vertauschen in Matrix
Ich ändere doch dann nur die Komponenten im Zähler dieses Ausdrucks, oder seh ich das falsch?




Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso arbeitest du ständig mit Endomorphismen? Es ist doch .
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber den letzten Schritt bin ich nicht mehr mitgekommen. In meinem Script sieht die Funktion eben so aus und wir haben das nur für Endomorphismen definiert. Mir ist klar das f ein alternierende Multilinearform ist.
Häng ich irgendwo?

Hier:

[attach]8282[/attach]
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das ändert einiges. Der von induzierte Endomorphismus lautet doch . Dann würde ich die kanonische Basis des wählen. Dann sieht das alles etwas freundlicher aus, aber im Prinzip ist dein Vorgehen dann richtig.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Also würdest du mir raten, meine Version im ersten Post zu nehmen, wenn ich ändere, dass ich beliebige Spaltenpaare nehme und dementsprechend verschiedene Basiselemente, anstatt aufeinanderfolgende, oder sollte ich doch die mehr kürzere, ausformuliertere Version, die ich gerade mit dir erarbeitet habe, verwenden?

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die modifizierte erste Version. Danach ist wohl gefragt.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke vielmals Freude .
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