Exponentialverteilung

13.06.2008, 21:10	rudi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung Hallo, man hat 5 unabhängige Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1,\dots,X_5 \end{eqnarray}$ , welche die Lebensdauer von 5 Komponenten eines Gerätes beschreiben und exponentialverteilt mit $\begin{eqnarray} \lambda = 1000 \end{eqnarray}$ sind. Die "Gesamtlebensdauer" des Gerätes sei durch $\begin{eqnarray} X = \max_{1 \leq i \leq 5} \{X_i\} \end{eqnarray}$ beschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät mindestens 1000 Stunden funktioniert? Die Wahrscheinlichkeit für jede Komponente beträgt ja $\begin{eqnarray} P(x \geq 1000) = \int_{1000}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx \end{eqnarray}$ . Aber wie ist das mit dem Maximum nun zu verwenden? Mir ist nicht ganz klar, wie ich das einbaue. Die Wahrscheinlichkeit wird vermutlich größer ... aber ich weiß nicht, um wieviel...
13.06.2008, 21:24	rudi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt die Idee, erst die gemeinsame Dichte zu berechnen mit $\begin{eqnarray} P(X_1 \leq x, \dots, X_5 \leq x) = \prod_{i=1}^5 P(X_i \leq x) \end{eqnarray}$ (da X_i unabhängig) und dann über diese gemeinsame Dichte von 1000 bis unendlich zu integrieren?
13.06.2008, 21:46	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch direkt: $\begin{eqnarray} P(X\geq 1000)=1-P(X<1000)=1-\prod_{i=1}^5 P(X_i<1000) \end{eqnarray}$ (auf Grund der Unabhängigkeit).
13.06.2008, 21:46	rudi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach Quatsch, das obige ist ja schon die Verteilung. Dann erhält man doch $\begin{eqnarray} \left(1-e^{-1000x} \right)^5 \end{eqnarray}$ als Verteilungsfunktion des Maximums. Aber $\begin{eqnarray} P(x \geq 1000) = 1-P(x < 1000) \end{eqnarray}$ ist ja dann ziemlich nahe der 0. Stimmt das überhaupt was ich hier mache?
17.06.2008, 21:31	rudi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hätte doch nochmal die Frage, da ich vorher einiges durcheinandergebracht hatte. Also für $\begin{eqnarray} \lambda = 1000 \end{eqnarray}$ lautet die Exponentialverteilung doch $\begin{eqnarray} 1000 \cdot \exp(-1000 \cdot x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ (sonst 0). Und um $\begin{eqnarray} P(X_i < 1000) \end{eqnarray}$ zu berechnen, integriere ich über die Dichtefunktion von 0 bis 1000. Aber dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein (einzelnes) Gerät mindestens 1000 Stunden arbeitet ja $\begin{eqnarray} \exp(-1000000) \end{eqnarray}$ . Das kommt mir doch etwas merkwürdig vor. Ich habe doch bestimmt etwas falsch eingesetzt oder so
17.06.2008, 22:49	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe keinen Fehler.
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18.06.2008, 10:03	rudi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ooch, ich sehe gerade, dass klangheimlich das Skript geändert wurde und - weshalb auch immer - bei der Exponentialverteilung plötzlich stets der reziproke Wert für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ benutzt wurde. Jetzt kommen auch sinnvolle Zahlen heraus. Danke!

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