Homomorphismus finden

13.06.2008, 21:48	Mampf	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus finden Hilfe, ich muss einen injektiven Gruppenhomomorphismus von $\begin{eqnarray} Aff(\mathbb R^{n}) nach GL(\mathbb R^{n+1}) \end{eqnarray}$ finden.. Eine Affinität lässt sich ja als Ax+b darstellen, wobei A (nxn)-Matrix und b ein n-dim. Vektor ist. Wie krieg ich daraus eine invertierbare Matrix? mir fällt leider nichts ein.. Gruß
13.06.2008, 22:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus finden http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus Vielleicht sollte man sich die beiden Gruppen erst einmal genauer anschauen. Wie sehen denn die neutralen Elemente aus?
13.06.2008, 23:23	Mampf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus finden das neutrale element ist jeweils die identische abbildung/matrix, einmal mit n Zeilen u. Spalten u. einmal mit (n+1) Zeilen u. Sp. Der Vektor b in der Affinität wäre also der Nullvektor. Jezt ist die Frage: Wie komm ich von Id(n) auf Id(n+1)? Indem ich den Vektor b jeweils rechts und unten an Id(n) dranpacke und dann unten rechts noch eine 1 ergänze? Aber klappt das dann auch mit den anderen Matrizen?
13.06.2008, 23:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus finden Also schauen wir uns die beiden Gruppen einmal an. General linear Group (WikiArtikel H) Ok, das ist die Gruppe der invertierbaren (quadratischen) (n+1)x(n+1) Matrizen mit reellen Einträgen. die Verknüfung ist die Matrizenmultiplikation. Es gilt dann also $\begin{eqnarray} e_H=I_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\circ A^{-1}=I_{n+1} \end{eqnarray}$ Affine Abbildungen (WikiArtikel G) 1. Welche Verknüpfung liegt denn in dieser Gruppe vor?
14.06.2008, 07:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Mampf Die affine Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha(x) = Ax + b \end{eqnarray}$ ist ja durch die invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und die Spalte $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt und kann daher mit dem Paar $\begin{eqnarray} (A,b) \end{eqnarray}$ identifiziert werden. Ich schreibe kurz $\begin{eqnarray} \alpha = (A,b) \end{eqnarray}$ . Die Gruppenmultiplikation ist die Verkettung. Für zwei solche Abbildungen gilt daher $\begin{eqnarray} \alpha_2 \circ \alpha_1 = \left( A_2 , b_2 \right) \circ \left( A_1, b_1 \right) = \left( A_2 A_1 , A_2 b_1 + b_2 \right) \end{eqnarray}$ Warum ist das so? Und dann tut man das Naheliegendste, ähnlich wie du selbst es schon vorgeschlagen hast. Man bildet das Paar auf eine Kästchenmatrix ab, und zwar so $\begin{eqnarray} (A,b) \mapsto \begin{pmatrix} A & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun wäre zu zeigen, daß das tatsächlich eine Abbildung in die allgemeine lineare Gruppe ist und daß daß diese Abbildung monomorph ist.
14.06.2008, 12:24	Mampf	Auf diesen Beitrag antworten »
danke! Wenn ich 2 Affinitäten verkette, sieht das ja so aus: F(x) = Ax + b G(x) = Cx + d G(F(x)) = C(Ax+b) + d = CAx + Cb + d = (CA,Cb+d) Kann ich sagen, dass das Bild von (A,b) invertierbar ist, weil sich die Determinante nicht ändert, da in der letzten Zeile ja nur Nullen sind bis auf die 1 auf der Hauptdiagonalen? Die Monomorphie zu zeigen ist glaub ich nicht so schwierig, hab ich grad aufm Schmierblatt gemacht.
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