H-Methode: Wofür?

10.03.2006, 12:31

PG

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H-Methode: Wofür?

Hi
Ist die H-Methode der Beweis für die Faktorregel?

danke

10.03.2006, 12:43

klarsoweit

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RE: H-Methode: Wofür?
Ich nehme an, du meinst dies:
Sei f auf einer Umgebung von x0 definiert. Die Funktion heißt differenzierbar an der Stelle x0,
genau dann, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert.
Das, was du "H-Methode" nennst, ist keine Methode, sondern ein mathematischer Ausdruck, mit dem die Ableitung definiert wird.
Über diese Definition kann man auch die Faktorregel beweisen. Die Definition als solche ist aber kein Beweis.

10.03.2006, 13:10

PG

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das mein ich.
damit ist doch die faktorregel bewiesen.
wie meinst du ,dass die defintion also solche kein beweis ist? beweis ist beweis und da kommt halt die ableitungsfunktion, also ist es folglich ein beweismethode.
warum heisst es gerade h-methode? vielleicht nur weil man die variable, die man gegen 0 konvergieren lässt, h genannt hat?

10.03.2006, 13:18

Frooke

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Man kann mit der «H-Methode» die Ableitung gewisser Funktionen zeigen. Das ist dann in diesem Sinne ein Beweis. Man kann sie auch benutzen, um die Faktorregel zu beweisen. Aber die Definition der Ableitung per H-Methode ist eine Definition, kein Beweis!

10.03.2006, 13:19

Leopold

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Ich höre das auch immer wieder: $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ -Methode. Aber das ist nur eine Möglichkeit, den Differenzenquotienten zu schreiben. Sollte man da wirklich von Methode reden?

Die Sache ist relativ einfach. Wenn man zwei Punkte $\begin{eqnarray*} x_0,x \end{eqnarray*}$ auf dem Zahlenstrahl hat, so gibt ihre Differenz $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Länge der (gerichteten) Strecke zwischen den beiden Punkten an:

$\begin{eqnarray*} h = x - x_0 \end{eqnarray*}$

Von den drei Größen $\begin{eqnarray*} x,x_0,h \end{eqnarray*}$ muß man daher nur zwei angeben, weil man die dritte aus ihnen berechnen kann. Wenn man die Gleichung z.B. nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöst, gilt

$\begin{eqnarray*} x = x_0 + h \end{eqnarray*}$

Daher hat man die folgenden Varianten für den Differenzenquotienten:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ entspricht dabei $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ .

10.03.2006, 13:21

klarsoweit

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Was verstehst du denn unter Faktorregel? Was ich hingeschrieben habe, ist die Definition der Ableitung. Wie gesagt: eine Definition, kein Beweis. Mit einem Beweis beweist man eine Behauptung. Hier wird aber nichts behauptet, sondern nur definiert. Der Begriff "Faktorregel" deutet an, daß etwas unter gewissen Voraussetzungen gilt. Das muß natürlich bewiesen werden. Deswegen nochmal die Frage: Was verstehst du unter Faktorregel?

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10.03.2006, 16:20

Gero_L

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Hi,

er meint wohl dass aus der Definition mittels $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Faktorregel sofort mit den allgemeinen Grenzwertsätzen klar ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{c\,f(x+h) - c\,f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c\,\left(f(x+h) - f(x)\right)}{h} = c\, \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = c\,f'(x) \end{eqnarray*}$

Was natürlich über

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

genauso trivial ist.

10.03.2006, 17:46

PG

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Unter Faktorregel verstehe ich die Ableitung eines Faktors.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$

das kann man auch mit dieser h-methode zeigen.
wenn es nur eine definition ist, was ist dann der Beweis?

Ihr meint doch mit definition eine Formel oder?

10.03.2006, 18:11

Gero_L

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Der Beweis für die Faktorregel steht über deinem Beitrag. Die h-Methode ist aber nicht der Beweis, sie ist nichts weiter als eine von vielen anderen Definitionen für die Ableitung einer Funktion. Der Beweis ergibt sich nur (genauso) einfach wie aus anderen Definitionen daraus.

Das was du gerade darstellst, ist aber die Potenzregel, nicht die Faktorregel.

10.03.2006, 18:47

PG

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was die potenzregel? das ist ja wieder was ganz anderes.
ich rede hier von ableitungen und das ist die faktorregel, die ich anwende
( oder verwechselst du gerade die faktorregel mit der Produktregel?)

also wie ich erwähnte meint ihr mit der definition=Formel? ja oder nein?

edit: mit der Definition meine ich die h-methode. ob diese Definition nur zu bestimmung der Ableitung hilft(also nur bei ganzrationalen funktion)

10.03.2006, 19:58

Gero_L

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Das Beispiel was du oben darstellst, ist die Anwendung der Potenzregel, ob du das willst oder nicht.

Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor vor einem Ausdruck (einer Funktion, Variablen, etc) in der Ableitung erhalten bleibt.

Beispiel dazu (hier ist der anfängliche Faktor 2 der Faktor, den die Faktorregel anspricht):

$\begin{eqnarray*} (2 \cdot x^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot 2\,x = 4\,x \end{eqnarray*}$

Allgemeiner, mit $\begin{eqnarray*} c = \text{const} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) = c\,f'(x) \end{eqnarray*}$
(Der Beweis hier für wurde oben von mir bereits gebracht)

Genau das ist die Faktorregel, nicht die Potenzregel und auch nicht die Produkt-, Quotienten oder Kettenregel.

10.03.2006, 20:25

PG

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genau das meine ich doch. was ich dargestellt habe, war auch die faktorregel, nur dass ich die 1 weglassen habe

$\begin{eqnarray*} f(x)=1\cdot x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=1\cdot2\cdot x \end{eqnarray*}$

das ist das gleiche wie:
$\begin{eqnarray*} (c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x) \end{eqnarray*}$

was du erwähntest

potenzregel sind die hier und nicht das was ich vorhin gemacht habe:
$\begin{eqnarray*} a^n\cdot a^m=a^{m+n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^n\cdot b^n=(ab)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a^n)^m=a^{nm} \end{eqnarray*}$

also ist die h-methode nur als formel für die bildung der ableitungen( nur von ganzr. funktionen) gedacht oder?

10.03.2006, 20:36

Gero_L

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Zitat:

genau das meine ich doch. was ich dargestellt habe, war auch die faktorregel, nur dass ich die 1 weglassen habe

Da brauche ich wohl überhaupt nichts mehr zu sagen, außer: Einfach unglaublich was du abziehst.

Zitat:

potenzregel sind die hier und nicht das was ich vorhin gemacht habe

Die kennen hier wohl alle als "Potenzregeln", aber da wir hier beim Thema Differentialrechnung sind, ist mit der Potenzregel genau die eine Potenzregel der Differentialrechnung gemeint:

$\begin{eqnarray*} (x^n)' = nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

also ist die h-methode nur als formel für die bildung der ableitungen( nur von ganzr. funktionen) gedacht oder?

"nur" ist gut, die Definition ist alles andere als "trivial". Nur ganzrationale Funktionen? Das gilt z.B. auch für Funktionen die von einem Körper wie den reellen oder komplexen Zahlen in einen normierten Vektorraum darüber abbilden.

10.03.2006, 21:08

PG

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Zitat:

Da brauche ich wohl überhaupt nichts mehr zu sagen, außer: Einfach unglaublich was du abziehst

was ziehe ich ab? ich darf doch auch skeptisch sein oder willst du mir etwa sagen, dass ich einfach ruhig sein soll und immer sagen soll: ich habe es kapiert...

Zitat:

Die kennen hier wohl alle als "Potenzregeln", aber da wir hier beim Thema Differentialrechnung sind, ist mit der Potenzregel genau die eine Potenzregel der Differentialrechnung gemeint:

$\begin{eqnarray*} (x^n)' = nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich auch verstanden, was du meinst. sag doch gleich, dass die potenzregel, diejenige regel ist, bei der 1 als konstanter wert vor dem x steht und bei der Faktorregel eine andere Konstante als eins oder núll.
welche regel muss man hier anwenden:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4+2x \end{eqnarray*}$
das wäre dann doch die potenzregel.
$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^2+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=10x+3x^2 \end{eqnarray*}$
hierbei wendet man doch beide regeln an, habe ich recht?

Zitat:

"nur" ist gut, die Definition ist alles andere als "trivial". Nur ganzrationale Funktionen? Das gilt z.B. auch für Funktionen die von einem Körper wie den reellen oder komplexen Zahlen in einen normierten Vektorraum darüber abbilden.

nimms nicht enst, aber sry ich verstehe deine sprache nicht... was meinst du mit trivial? vielleicht "in drei Wegen"?? ich kenn es vom latéin : tri=3 via=weg, straße
was meinst du nun mit trivial?

10.03.2006, 21:17

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von PG
was meinst du nun mit trivial?

Etwas in dieser Art. Nach meiner Erfahrung ist in der Mathematik all das trivial, für das man
seinen Kopf nicht sehr anstrengen muss.

10.03.2006, 21:29

PG

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naja, dann werde ich leider meinen lehrer fragen müssen, wenn man keine konkreten Antworten auf die Fragen bekommt...

danke für die hilfe

10.03.2006, 21:38

BraiNFrosT

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Du hast doch in diesem Strang schon alles beantwortet bekommen.
Die h-Methode ist eine Schreibweise für den Differenzenquotienten.
Über diesen kann man die Faktorregel und die Potenzregel beweisen.

Ich kenne es so wie es Gero beschrieben hat, wollte aber ein zweites
Aufleit-Desaster vermeiden. Also Faktorregel = Faktoren vor der Variablen
bleiben beim ableiten konstant erhalten. Potenzregel = f(x)=x^n =>
f'(x)=nx^(n-1).

Kein Grund trotzig davonzuziehen Tanzen

Tanzen

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