Wie erhalte ich Gumbel aus Normalverteilung

10.03.2006, 12:39	paaulaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie erhalte ich Gumbel aus Normalverteilung Hallo ihr Fachleute, kennt sich denn hier jemand etwas tiefer als Schulthemen in der Materie aus? Ich will eine Gumbelverteilung (Extremwertvertilung vom Typ 1) auf der Grundlage von Werten mit Normalverteilung erstellen. Wie erhalte ich die Parameter a und u der Gumbelformel aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert der NV? Ja ich weiß, nicht so leicht oder gerade doch für jemanden der in der Materie steckt!? ICH BRAUCHE EUCH DA DRAUSSEN! VIELEN TAUSEND DANK! paaulaa
10.03.2006, 13:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich höre jetzt hier zum ersten Mal von der Gumbelverteilung, aber wenn ich dem zugehörigen Wikipedia-Beitrag glauben darf, dann ist das einfach eine Zufallsgröße mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(x) = \exp\left\{ -\exp\left\{ -x \right\} \right\},\quad x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ Dann kann man das ganze natürlich noch linear transformieren, wie im Wikipedia-Beitrag beschrieben. Inwiefern hängt das jetzt mit Normalverteilung zusammen? Dein "auf der Grundlage" ist ziemlich dürftig, dazu musst du schon etwas genauere Angaben machen, sonst können wir dir nicht helfen.
10.03.2006, 13:58	paaulaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, allgemein geht es in der Extremwerttheorie um folgendes: ich habe maximale Messwerte einer bestimmten Verteilung. Bei großer Anzahl von n streben diese Extremwertverteilungen gegen verschiedene Typen, abhängig von der Form der Endbereiche der Ausgangsverteilung: bei einer Normalverteilung strebt diese gegen den Typ 1: Gumbel. Nun besitzt diese Gumbel-Verteilung die Form: $\begin{eqnarray} F(x)= \exp\left\{-\exp\left\{-a\left\{x-u\right\}\right\}\right\} \end{eqnarray}$ a und u kann man durch erhalten indem man die Standardabweichung und den Erwartungswert kennt. Schiefe und Exzess sind konstant. http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwerttheorie Ich habe aber nur den Erwartungswert und die Stdabw. der Normalverteilung. Nun habe ich 2 verschiedene Formel gefunden. Beide widersprechen sich. Weiß jemand was anderes gefunden? Man benutzt das ganze wenn man bspw. maßgebende Lasten (100jähriges Hochwasser, Windlasten oder Autos auf Brücken u.ä.) erhalten will. Man hat eine Verteilung von Extremwerten, durch eine Erstellung von Gumbel, habe ich die Verteilung der Maximalwerte wenn mein n immer größe wird. Davon der Fraktilwert ist der maßgebende Wert, den ich suche. Hoffe ihr könnt damit mehr anfangen. paaulaa
10.03.2006, 14:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist das was in der Wikipedia steht, habe ich auch gelesen. Aber mir ist nicht klar, wie das genau vonstatten geht! Was ich meine: Wenn ich das Maximum von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ normalverteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ nehme $\begin{eqnarray} Z_n := \max \{ X_1,\ldots, X_n \} \end{eqnarray}$ dann kann ich nicht einfach das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen unendlich streben lassen im Sinne $\begin{eqnarray} Z:= \lim\limits_{n\to \infty} ~ Z_n \end{eqnarray}$ , denn dieses $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ ist keine vernünftig definierte Zufallsgröße!!! Salopp gesagt nimmt sie den Wert unendlich mit Wahrscheinlichkeit 1 an. Ich könnte mir vorstellen, dass man hier irgendeine monoton wachsende deterministische Funktion $\begin{eqnarray} \lambda(n) \end{eqnarray}$ derart zwischenschaltet, dass $\begin{eqnarray} Z:= \lim\limits_{n\to \infty} ~ \frac{Z_n}{\lambda(n)} \end{eqnarray}$ als Zufallsgröße existiert. Und genau das wollte ich von dir wissen, konkrete Fakten zu diesem Grenzprozess!
10.03.2006, 16:32	paaulaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsgröße X sei nomalverteilt. Daraus nehme ich eine unabhängige Folge vom Umfang n. Der Größtwert dieser Folge ist auch Zufallsgröße. Die Verteilungsfkt. Fu(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass alle Größen Xi kleinerals x sind. Fu(x)=[FX(x)]^n Es stimmt, dass bei einer Ausgangsverteilung, die einen Ast bis ins unendliche hat, auch die EWV mit wachsendem n unbegrenzt ist. Ich erhalte aber keinen festen Wert Z sondern eine Verteilung, die von x abhängt. Auf dieser Seite werden einige Verteilungen erklärt. Darunter auch die EWV allgemein und die Weibull-Verteilung (EWV-Typ 2) http://www.stochastik.jku.at/Kurs_Stochastik/23_Weitere_wichtige_Verteilungen/index.html Die Theorie untersucht nun gegen welche Verteilung die EWV für große n streben. Ich erhalte daraus den Verteilungstypen aus Ergebnissen, die Extremwerte genügend großer Stichproben darstellen. Die Verteilung dieser Extremwerte strebt bei großen n hier gegen Gumbel. Die Gumbel-Verteilung ist in beide Richtungen unbegrenzt (Exponentialtyp). Die Gumbel-Verteilung aus Wikipedia ist die allg. Verteilungsform. Wenn die Grundlage der Extremwerte aber eine Normalverteilung oder eine Exponentialverteilung ist, kommen die Parameter a und u dazu. Die ich nicht bestimmen kann. Hoffe das reicht dir als Aussage. paaulaa
10.03.2006, 17:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass diese Parameter a und u von der Anzahl n der zu maximierenden Zufallsgrößen unabhängig sind, ist nach meinen Überlegungen zur nicht existenten Grenzwert-Zufallsgröße jedenfalls auszuschließen.
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