Das Inverse einer Matrix

10.03.2006, 12:56

mathefreakjan

Das Inverse einer Matrix

Hallo,

ich hab hier eine Aufgabe gelöst aber bin mir nicht ganz sicher, ob das so richtig ist!

..... kann mir bitte jem. diese komische Indizierung ... n+ und 2+ RECHTS unten beim M erklären??
..... das mit dem k bedeutet doch über K!

$\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$
E wäre der Einheitsvektor.

$\begin{eqnarray*} E= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{det(A)} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a*d - c*b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a*d - c*b} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a*d - c*b} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ab-bc & ab-ab \\ cd-cd & ad-cb\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.03.2006, 13:05

Abakus

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RE: Das Inverse einer Matrix
Es steht ja da, was es bedeutet:

$\begin{eqnarray*} M_{2+}^K \end{eqnarray*}$ ist die Menge der inverteirbaren (2 X 2)-Matrizen über dem Körper K.

Andere schreiben dafür $\begin{eqnarray*} M_{2x2}^*(K) \end{eqnarray*}$ oder ähnlich. Es ist halt nur eine Bezeichnung.

Grüße Abakus smile

10.03.2006, 14:12

mathefreakjan

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RE: Das Inverse einer Matrix
ist die Lösung jetzt richtig oder falsch??

das hab ich verstanden danke Big Laugh

Zitat:

Original von Abakus
Es steht ja da, was es bedeutet:

$\begin{eqnarray*} M_{2+}^K \end{eqnarray*}$ ist die Menge der inverteirbaren (2 X 2)-Matrizen über dem Körper K.

Andere schreiben dafür $\begin{eqnarray*} M_{2x2}^*(K) \end{eqnarray*}$ oder ähnlich. Es ist halt nur eine Bezeichnung.

Grüße Abakus smile

10.03.2006, 16:51

JochenX

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dein Verfahren mit der Adjunkten ist gangbar und für 2x2-Matrizen gut
deine Verifikation scheint doch aufzugehen, dann stimmt's wohl Augenzwinkern

Keine Ahnung, warum du da zum Schluss so oft die Einheitsmatrix hinschreibst.

achja, diese Schreibweise "2" steht einfach nur für die Zeilen und Spaltenzahl; da es hier um quadratische Matrizen gehen muss (!) [Gruppe! Verknüpfbarkeit] kann man Abakus Schreibweise "nxn" eben verkürzen.

Häufige Schreibweise ist übrigens: $\begin{eqnarray*} Gl_n(K) \end{eqnarray*}$ , das sind die "general linear" Matrizen, die invertierbaren

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