Durchmesser eines Kreiszylinders

10.03.2006, 14:29

Klaus1980

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Durchmesser eines Kreiszylinders

Hallo,

folgende Aufgabe:

Bestimme den Durchmesser eines Kreiszylinders (Volumen = 1 m³) mit der kleinsten Gesamtoberfläche.

gegeben: V = 1 m³
gesucht: d

Formel:
V = Grundfläche * Höhe = r² * pi * h

Problem: Habe weder Höhe noch Grundfläche ?!?. 2 Unbekannte Größen ist schlecht. Wie soll ich da auf den Durchmesser kommen?

Ich denke ich sollte mir noch zu Nutze machen die Info mit der kleinsten Gesamtoberfläche. Aber wie?

Hat jemand einen guten Denkanstoß für mich für mein weiteres Vorgehen?

Gruss KLaus

10.03.2006, 14:32

nschlange

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RE: Durchmesser eines Kreiszylinders
Hi,

Formel für die Gesamtoberfläche aufstellen
und davon ein Minimum suchen.

Viele Grüße
nschlange

10.03.2006, 14:32

20_Cent

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Schreibe noch die Formel für die Oberfläche hin und ersetze h durch das h in deiner Volumenformel, dann kannst du minimieren. (Ist ein Extremwertproblem, ich verschiebs mal in die Analysis)
mfG 20

edit: verschoben

10.03.2006, 15:05

Klaus1980

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Ach mist .. minmieren .. Extremwertbestimmung. unglücklich

unglücklich

Da hab ich ja kein Plan mehr von ... smile

smile

O(berfläche) = 2r* pi * h + 2r²* pi

V = Grundfläche * Höhe = r² * pi * h

Höhe = Volumen / Grundfläche = V / (r²*pi)

O(berfläche) = 2r* pi * V / ((r²*pi)) + 2r²* pi

Die Formel sollte so stimmen.

Hat jemand einen guten Link wo ich mich zu der Bestimmung von Extremwerten schlau machen kann?

Danke schonmal für eure Hilfe bis hierher.

10.03.2006, 17:00

JochenX

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Zitat:

Original von Klaus1980
Hat jemand einen guten Link wo ich mich zu der Bestimmung von Extremwerten schlau machen kann?

[Workshop] Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

10.03.2006, 19:36

Klaus1980

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ok ...

OberflächenFormel:

O(berfläche) = 2r* pi * V / ((r²*pi)) + 2r²* pi

die setze ich jetzt mal 0 und versuche mich an der 1. Ableitung:

dann habe ich:

2 * 4r * (-1*2r)/(r4*pi²)

Habe für V 1 eingesetzt und 1 / (r²*pi) nach der Quotientenregel abgeleitet.

Bin ich noch auf dem richtigen Weg oder schon komplett dran vorbei?

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11.03.2006, 03:25

20_Cent

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deine funktion ist richtig (kürzen!), deine ableitung falsch. du leitest nach r ab, denke daran, zu kürzen.

mal in Latex:

$\begin{eqnarray*} O(r)=2\pi r*\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2 \end{eqnarray*}$

mfG 20

11.03.2006, 10:18

Klaus1980

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Das habe ich eigentlich nie so richtig kapiert ... was bedeutet es für mich .. bzw. auf was muss ich achten, wenn ich nach xyz (in diesem Fall nach r) ableite?

Was passiert mit dem V? Soltel ich da jetzt schon die 1 einsetzen für?

11.03.2006, 10:40

mercany

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Zitat:

was bedeutet es für mich .. bzw. auf was muss ich achten, wenn ich nach xyz (in diesem Fall nach r) ableite?

Das bedeutet für dich, dass alle anderen Variabeln als Konstante behandelt werden.
Ich mach das mal an einem Beispiel klar:

Nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet:
$\begin{eqnarray*} f(x) = rx^3 + r^2 + rx + 5r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3rx^2 + r \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f(r) = rx^3 + r^2 + rx + 5r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(r) = r + 2r + r + 5 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was passiert mit dem V? Soltel ich da jetzt schon die 1 einsetzen für?

Ist fürs ableiten erstmal wurscht. Wird so oder so als Konstante behandelt.

Gruß, mercany

11.03.2006, 12:00

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
Nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f(r) = rx^3 + r^2 + rx + 5r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(r) = r + 2r + r + 5 \end{eqnarray*}$

Das ist wohl ungewohnt für dich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(r)=x^3+2r+x+5 \end{eqnarray*}$

11.03.2006, 14:37

mercany

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von mercany
Nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f(r) = rx^3 + r^2 + rx + 5r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(r) = r + 2r + r + 5 \end{eqnarray*}$

Das ist wohl ungewohnt für dich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(r)=x^3+2r+x+5 \end{eqnarray*}$

ohh mann!
wo ist die ecke zu schämen unglücklich

unglücklich

ich glaub ich leg mich für heute wieder schlafen....

11.03.2006, 16:39

Klaus1980

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Zitat:

Original von 20_Cent
deine funktion ist richtig (kürzen!), deine ableitung falsch. du leitest nach r ab, denke daran, zu kürzen.

mal in Latex:

$\begin{eqnarray*} O(r)=2\pi r*\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2 \end{eqnarray*}$

mfG 20

Ok ... für den ersten Teil wende ich die Produktregel an.

(g * h)' = g' * h + g * h'

g = 2 pi r
h= V/pi r²

g' = nichts mehr. Alles weg.
h' = Anwendung Quotientenregel

Allgemein: (g/h)' = (g'*h)-(g*h')/h²
g = V
h = pi r²

g' = nichts mehr, da V = Konstante.
h' = 2r (pi weg)

(g/h)' = (g'*h)-(g*h')/h² = (pi r²)-(V*2r)/pi²r²²

Somit h' von oben: (pi r²)-(V*2r)/pi²r²²

²² = hoch 4

Zurück zur Produktregel vom Anfang:

(g * h)' = g' * h + g * h' = V/pi r² + (2 pi r*((pi r²)-(V*2r)/pi²r²²))

Das ist also der erste Teil.

dann noch das + 2 pi r²

Daraus wird: 2r.

Somit habe ich dann: V/pi r² + (2 pi r*((pi r²)-(V*2r)/pi²r²²)) + 2r

Big Laugh

Big Laugh

Das war jetzt Schritt für Schritt. Ich bezweifel das es stimmt irgendwie, da ich nicht wirklich gut ableiten kann.

Kann mir jemand die Fehler sagen? An welcher Stelle und warum?

Danke euch schonmal im Voraus.

Gruss Klaus

11.03.2006, 17:38

phi

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moin,

Du kannst vorm Ableiten ruhig schon 1 für V einsetzen, ist ja eine Konstante.

Wenn du 20Cent´s Hinweis mit dem kürzen beherzigst, kannst du dir die Produktregel im ersten Summanden sparen:

$\begin{eqnarray*} 2\pi r*\frac{V}{\pi r^2}=\frac{2V}{r} \end{eqnarray*}$ .

Der erste richtige Fehler ist jedoch:

Zitat:

g= 2 pi r
h= V/pi r²

g' = nichts mehr. Alles weg.

Es ist doch g(r)'=2 pi

Und bei einem Term die zu ableitende Variable (r) unterm Bruchstrich ist, und ansonsten nur Konstanten vorkommen, kannst du sie als negative Potenz darstellen und wie jede andere Potenz ableiten, sonst "schießt du mit der Quotientenregel=Kanonen auf Spatzen":

$\begin{eqnarray*} \frac{V}{\pi r^2}=\frac{1}{\pi }r^{-2} \end{eqnarray*}$

Aber all dies fällt weg, wenn du erstmal kürzt.

mfg, phi

14.03.2006, 14:42

Klaus1980

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Ok .. dann habe ich praktisch nur:

$\begin{eqnarray*} \frac{2V}{r} + 2 \pi r^{2} \end{eqnarray*}$

Das muss ich ableiten.

Beginne ich mal mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{2V}{r} \end{eqnarray*}$

Für V setze ich 1 ein.

g = 2
h = r

g' = 2
h' = nichts.

Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{2r - 2}{r^{2}} \end{eqnarray*}$

Korrekt oder schon wieder falsch?

p.s. Bei einer Funktion wie x³+2x²+x .. von welcher Ordnung spricht man da, wenn ich ableiten möchte?

14.03.2006, 14:51

derkoch

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Zitat:

Original von Klaus1980
Ok .. dann habe ich praktisch nur:

$\begin{eqnarray*} \frac{2V}{r} + 2 \pi r^{2} \end{eqnarray*}$

Das muss ich ableiten.

Beginne ich mal mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{2V}{r} \end{eqnarray*}$

Für V setze ich 1 ein.

g = 2
h = r

g' = 2
h' = nichts.

Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{2r - 2}{r^{2}} \end{eqnarray*}$

Korrekt oder schon wieder falsch?

p.s. Bei einer Funktion wie x³+2x²+x .. von welcher Ordnung spricht man da, wenn ich ableiten möchte?

Das ist falsch!!!

h (r) = r

h'(r)= 1

g(r) = 2V

g'(r) = 0

14.03.2006, 15:02

Klaus1980

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ahh ok. Danke.

Die Ableitung stimmt trotzdem zufällig, wenn ich das richtig sehe.

Fehlt noch die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 2 \pi r^{2} \end{eqnarray*}$

Das müsste sein: $\begin{eqnarray*} 4 \pi r \end{eqnarray*}$

Korrekt?

14.03.2006, 19:14

phi

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$\begin{eqnarray*} 4\pi r ~ \end{eqnarray*}$ ist korrekt. smile

smile

Es ist einerseits schön, wie du bei jeder Gelegenheit Produkt- und Quotienten-Regel übst, aber da du dabei noch ungeübt bist, machst du dir das Leben unnötig schwer, denn wenn du das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} =r^{-1} \end{eqnarray*}$ nutzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2V}{r}=2Vr^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2Vr^{-1})'=-2Vr^{-2} \end{eqnarray*}$

"Bei einer Funktion wie x³+2x²+x .. von welcher Ordnung spricht man da, wenn ich ableiten möchte?"

Da spricht man von einer(polynomen) Funktion 3. Grades (höchste Potenz), egal ob man sie ableiten möchte oder nicht.

mfg, phi

16.03.2006, 16:32

Klaus1980

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Also halten wir mal fest:

Oberflächenformel ist dieser hier:

$\begin{eqnarray*} O(r)=2\pi r*\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung davon lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{2r - 2}{r^{2}} + 4 \pi r \end{eqnarray*}$

Das setze ich jetzt Null und bekomme somit für r eine Lösung.

Bin ich noch auf dem richtigen Weg die Aufgabe zu lösen?

16.03.2006, 16:37

phi

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Nein, die Ableitung ist

$\begin{eqnarray*} -\frac{ 2}{r^{2}} + 4 \pi r \end{eqnarray*}$

Les doch was oben steht : kürzen, und als Potenz schreiben ! Dann entstehen nicht solche Fehler...

mfg

17.03.2006, 17:31

Klaus1980

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ahh ok. Danke. Hatte da was überlesen. Sorry.

Die Nullstelle dieser Ableitung berechne ich nun mit einer Polynomdivison oder geht es auch einfacher?

17.03.2006, 18:59

phi

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Ja, einfach mal r^2. Die 3 Lösungen dann in die 2.Ableitung einsetzen, um (sinnvolle) Minima & Maxima zu bestimmen.

mfg,phi

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