Basis

10.03.2006, 19:04

mathefreakjan

Basis

hi,

irgendwie komme ich nicht weiter verwirrt

B={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}

ich soll zeigen, dass es ein BASIS ist!

a+b=0
a+c=0
b+c=0

bin ich doof oder geht das nicht????
egal wie man das umformt, kommt man nicht drauf, dass a=b=c=0 und damit linear unabhängig ist!????

10.03.2006, 19:06

20_Cent

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mal abgesehen, dass da nicht steht, wovon basis, ist das doch schön, was du da raus hast! Eine Basis ist doch ein linear UNABHÄNGIGES Erzeugendensystem.
mfG 20

10.03.2006, 19:30

mathefreakjan

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verstehe ich nicht???

BASIS: alle Vektoren sind linear unabhängig!.. oder nicht und da muss doch NULL rauskommen??

wie.... (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) .....

10.03.2006, 19:41

Ace Piet

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RE: Basis
Die Einträge der Nullen Deines Erzeugendensystemes $\begin{eqnarray*} B = (b_1, b_2, b_3) \end{eqnarray*}$ erlaubt folgende eineindeutige Zuordnung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zur bekannten(!) kanonischen Basis $\begin{eqnarray*} (e_1, e_2, e_3) \end{eqnarray*}$ mit ...

$\begin{eqnarray*} \phi (e_3) = b_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi (e_2) = b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi (e_1) = b_3 \end{eqnarray*}$

Insofern ist per (Fortsetzung)...

$\begin{eqnarray*} \Phi (\lambda_1 e_3 + \lambda_2 e_2 + \lambda_3 e_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} := \lambda_1 \phi (e_3) + \lambda_2 \phi (e_2) + \lambda_3 \phi (e_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2 + \lambda_3 b_3 \end{eqnarray*}$

...ein Isomorphismus erklärt und damit B Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb L (B) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

10.03.2006, 19:58

Mona Lisa

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Habt ihr auch mit Martizen gearbeitet?
Wenn nicht:

a + b = 0
a + c = 0 => a = -c
b + c = 0 => b = -c

Jetzt die letzten beiden in die erste Gleichung einsetzten, dann erhällt man
-c-c = 0
<=> -2c = 0
<=> c = 0

Da a = -c folgt a = 0 und da b = -c folgt b = 0.
Also a = b = c = 0.
=>lin. unanhängige Vektoren, die eine Basis des R^3 bilden, da zudem auch jeder andere Vektor im R^3 durch diese drei lin. unabhängigen Vektoren Element R^3 darstellbar sind.

10.03.2006, 21:00

mathefreakjan

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ich bedanke mich für die Antworten Gott

@Mona Lisa

.... oh man.. ich hab die Gleichung 10000x umgestellt, bin aber nicht darauf gekommen traurig

Ich danke dir... das war echt eine Perfekte Antwort Lehrer

10.03.2006, 21:22

mathefreakjan

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aber was ich irgendwie nicht verstehe.....

warum ist in der Musterlösung soviel???
reicht das nicht, wenn man das mit dem a=b=c=0 und damit die lineare Unabhägigkeit zeigt??

warum ist da noch das mit dem x, y, und z unten geschildert???
das brauche ich doch gar nicht!
....also da wo zu(2) steht..

Oder da wo zu(2) steht, zeigt uns die Abgeschlossenheit (erzeugendes System)??

Aber warum brauch ich das??

10.03.2006, 23:03

Ben Sisko

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Wenn du nur die lineare Unabhängigkeit zeigst, benutzt du noch den Satz, dass ein maximal linear unabhängiges System eine Basis bildet.

In der Musterlösung wird die Definition der Basis gezeigt, also linear unabhängig und Erzeugendensystem.

Gruß vom Ben

10.03.2006, 23:16

mathefreakjan

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nur wenn man nach Alpha, Beta und Gamma umstellt, zeigt man schon, dass es ein erzeugendes System ist verwirrt

Also damit ich das richtig verstanden habe.....

B ist eine Basis wenn:

1. die Elemente von B lineare unabhängig sind.. also Alpha=Beta=Gamma=0

2. und das B ein erzeugendes System darstellt (Abgeschlossenheit)
... und hier einfach nach Alpha, Beta und Gamma umstellen und das wars schon .. hääääää... verwirrt

10.03.2006, 23:22

Ben Sisko

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Für das Erzeugendensystem nimmt man sich einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ her und will nun zeigen, dass der sich als Linearkombination deiner 3 Vektoren darstellen lässt, also durch diese drei Vektoren erzeugen lässt.
Das "nach alpha, beta, gamma umstellen" heisst, die Faktoren der Linearkombination auszurechnen, also die Linearkombination konkret anzugeben (so konkret das eben bei einem beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ geht Augenzwinkern

11.03.2006, 03:29

20_Cent

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oje, ich hatte den ersten post missverstanden, ich dachte du hättest diese einfache umformung gemacht und schon a=b=c=0 raus und dachtest, das wäre falsch Augenzwinkern

mfG 20

11.03.2006, 12:02

mathefreakjan

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guten morgen,

@ 20_Cent... ist doch kein Problem Augenzwinkern

@ Ben Sisko

..... also für eine Basis (erzeugendes System) muss ich einen beliebigen Vektor nehmen und das als Linearkombination der Vektoren darstellen.... Aber was ich nicht verstehen kann, ist, dass man doch immer nach Alpha, Beta und Gamma umstellen kann und warum reicht das nicht, wenn man nur die lineare Unabhängigkeit zeigt???

.... weil ich da nichts grossartiges mache... nur umstellen und das wars und das klappt doch immer??
ich versteh den Sinn irgendwie nicht??

11.03.2006, 12:54

Ben Sisko

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Wenn du drei Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ hast, und schon weisst, dass sie lin. unabh. sind, dann klappt das immer. Genau das sagt der Satz von der maximalen linearen Unabhängigkeit aus.

Um dir zu zeigen, dass es Möglichkeiten gibt, wo drei Vektoren nicht den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ erzeugen: Versuche mal für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dass sie den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ erzeugen.

11.03.2006, 20:34

mathefreakjan

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ich bedanke mich erstmal und hab zu diesem Thema noch paar Fragen offen!

B= {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1)} € IR³

... ich soll die lineare Unabhängigkeit zeigen!

es gibt doch 2 Möglichkeiten:

1)

a+b+c=0
a+b+2c=0
a+2b+c=0

2)
Koeffizientenmatrix:

1 1 1 0
1 1 2 0
1 2 1 0

Mein Problem ist in der ganzen Sache... bei der 1) hab ich versucht aber komm nicht darauf, dass a=b=c=0 raus kommt

und bei der 2) hab die ganze Zeit versucht hin und her zu schieben, multiplizieren, addieren..... bis man auf

1 0 0
0 1 0
0 0 1

.... kommt, dauert eine Ewigkeit

kann mir jem bei diesen 2 Möglichkeiten paar Tricks verraten, wie ich da am besten vorgehen soll?????

11.03.2006, 21:02

phi

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Zu 1) Wenn du die erste Zeile von der zweiten und von der dritten abziehst, was bleibt dann übrig ?

Zu 2) Du musst systematisch vorgehen (Gauß):

erstmal nur die erste Spalte: Ziehe die erste Zeile von der zweiten und dritten ab. (exakt wie in 1) , ist kein Zufall )

(dann die 2. Spalte, zweimal die neue 2. Zeile von der 3. Zeile abziehen..)

bei dieser Matrix braucht man den 2. Schritt gar nicht, wir haben schon:

1 1 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0

Da jetzt noch die 2. und 3. Zeile von der ersten abziehen, fertig!

(Es muss nicht genau in der Reihenfolge dastehen wie bei der Einheitsmatrix)

mfg, phi

11.03.2006, 21:16

mathefreakjan

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mmhh.... das ist doch mein Problem wie ich systematisch vorgehen soll??
ich weiss die Regeln aber das dauert immer sehr lange oder geht gar nicht!!!
Hab schon 2 Seiten voll gehabt mit Addition, Verschiebung usw... aber da kam nicht das raus, was raus kommen sollte böse

Es muss doch eine Vorgehensweise geben?!?!.. traurig

was meinst du damit: "......Es muss nicht genau in der Reihenfolge dastehen wie bei der Einheitsmatrix....." ???

muss das nicht als EINHEITSMATRIX dastehen???????????? verwirrt

Zitat:

Original von phi
...........
Zu 2) Du musst systematisch vorgehen (Gauß):

erstmal nur die erste Spalte: Ziehe die erste Zeile von der zweiten und dritten ab. (exakt wie in 1) , ist kein Zufall )

(dann die 2. Spalte, zweimal die neue 2. Zeile von der 3. Zeile abziehen..)
................
mfg, phi

11.03.2006, 21:28

mathefreakjan

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ich hab die ganze Zeit versucht einen Einheitsmatrix zu bekommen verwirrt

..also es muss nicht die Einheitsmatrix sein????

das war mein Anfangsmatrix..

1 1 1
1 1 2
1 2 1

...und hab dann nach mehrere Schritten sowas bekommen!

0 0 1
1 3 0
0 1 0

c=0
a+3b=0 => a=0
b=0

a=b=c=0 ......... ist das auch richtig verwirrt

11.03.2006, 21:29

phi

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1 0 0 0 = a+0+0=0
0 0 1 0 = 0+0+c=0
0 1 0 0 = 0+b+0=0 --> a=b=c=0.

(Erste Spalte ist a, 2. ist b, 3.Spalte ist c und 4.Spalte ist die andere Seite der Gleichungen. )

erstmal nur die erste Spalte: Ziehe die erste Zeile von der zweiten und dritten ab:

1 1 1 0
1 1 2 0
1 2 1 0 , also :

1 1 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0

Dann die neue 2. Zeile und neue 3. Zeile von der 1. Zeile abziehen:

1 0 0 0 = a+0+0=0
0 0 1 0 = 0+0+c=0
0 1 0 0 = 0+b+0=0 --> a=b=c=0.

Zu 1) Wenn du die erste Zeile von der zweiten und von der dritten abziehst, was bleibt dann übrig ?

mfg, phi

11.03.2006, 21:32

mathefreakjan

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kannst du bitte meinen Beitrag kontrollieren der vor dir steht, weil ich am Schreiben war als du schon gepostet hast Big Laugh

11.03.2006, 22:36

phi

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Es kommt zwar das Richtige raus, aber ob deine Schritte richtig sind, kann ich nicht sagen, da ich mein Telepathie-Gerät grade nicht bei mir hab´ Augenzwinkern

Aber schau dir lieber an wie man in 2 (!!) Schritten das löst, und versuche die Systematik abzukupfern!

mfg, phi

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