Gauß Algorithmus

10.03.2006, 21:39

Kira 007

Gauß Algorithmus

Hallo

werde mich morgen einmal intensiv mit dem Gauß Algorithmus verfassen, mit der Dreiecks Form, sowie mit dem erweiterten Gauß Verfahren.

Wenn ich fragen habe werde ich sie hier natürlich stellen.

Gruß Kira

10.03.2006, 22:41

Ben Sisko

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Erwartest du, dass man morgen keine Threads mehr eröffnen kann? verwirrt

11.03.2006, 17:19

Kira 007

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Nein, natürlich nicht hoffe ja das es das Board noch lange gibt !!

Hier aber erst einmal zu meiner Aufgabe

$\begin{eqnarray*} x1 + 2x2 -3x3 =6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x1+ x2 +x3 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x1- 2x2 -2x3 =12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1 +2x2 -3x3 =6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 -3x2+7x3=-11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 -8x2-7x3=-6 \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

11.03.2006, 18:33

Kira 007

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hoffe das es bis hierhin richtig ist wie gehts dann weiter ? verwirrt

11.03.2006, 19:21

as_string

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Hallo!

Bis jetzt sieht's gut aus! Außer das Vorzeichen beim x3 ganz rechts unten mit der -7. Da bin ich anderer Meinung (kann aber sein, dass ich mich verrechnet habe...)
Jetzt geht's so ähnlich weiter, nur mit der kleinen 2x2-Matrix unten rechts. Du mußt wieder das Vielfache von einer so mit der anderen addieren/subtrahieren, dass x2 bei der einen null wird, also so wie beim ersten Schritt, nur mit einer kleineren Matrix.

Gruß
Marco

Edit: Alternativ kannst Du auch x3 rauswerfen, was sich bei dieser Aufgabe vielleicht eher anbieten würde...

11.03.2006, 20:18

Kira 007

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Danke für Deine Antwort

habe die Aufgabe bereits gelöst

hier meine Lösung

1 2 -3 = 6
0 -3 7 =-11
0 -8 7 = -6

1 2 -3 =6
0 -3 7 =-11
0 -24 21 =-18

1 2 -3 =6
0 -3 7 =-11
0 0 -35 =70 /-35 x3 = -2

Also soweit bin ich habe das alles schon mal verstanden

Jetzt habe ich aber noch eine ganz wichtige Frage woran erkenne ich bei gauß ob meine LGS überhaupt lösbar ist oder nicht ?

Gruß Kira

11.03.2006, 20:26

JochenX

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Zitat:

1 2 -3 = 6
0 -3 7 =-11
0 -8 7 = -6

schau mal!

wir varriieren und eliminieren x3 in der 3. Zeile!
(-1)* die zweite Zeile auf die dritte Zeile addieren!

Da bist du viel schneller!

Zitat:

Jetzt habe ich aber noch eine ganz wichtige Frage woran erkenne ich bei gauß ob meine LGS überhaupt lösbar ist oder nicht ?

bleibt die Frage, WANN du das erkennen willst.
Vor oder nach dem Algorithmus?

danach ja auf jeden Fall, wenn die Lösung dasteht smile

11.03.2006, 20:32

Kira 007

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naja ich meinte eigentlich nach dem Gauß Verfahren bzw. dabei

gut wenn ich eine Lösung herraus habe müsste das LGS auch lösbar sein,

was ist den z.B wenn x3 Null ergibt ?

Gruß Kira

11.03.2006, 20:59

JochenX

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Zitat:

was ist den z.B wenn x3 Null ergibt ?

dann ist x3 eben 0, dass ist doch egal!

dein LGS ist unlösbar, sobald du irgendwann während deines Verfahrens sowas erzeugen kannst:
0*x1+0*x2+....+0*x3= irgendwas ungleich 0

11.03.2006, 21:47

Kira 007

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Ok dann weiß ich bescheid,

übe dann mal weiter am besten mit vier Gleichungen, mache morgen auf jeden fall weiter.

wenn ich den Gauß Algorithmus mit Dreiecksform dann richtig kann, muss ich noch den Erweiterten Gauß Algorithmus lernen.

Habe hier nocheinmal eine Aufgabe

x1 +3x2 -x3 =4
2x1+x2+x3=7
2x1-4x2+4x3=6
3x1+4x2+0=11

1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 -10 6 =-2
0 -5 3 =-1

Soweit richtig ?

Gruß Kira

11.03.2006, 22:05

mYthos

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Ja, sicher doch! Big Laugh

Formal sollten entweder noch die Variablen dazugeschrieben werden; oder aber das Ganze in Matrixform ...

Was fällt die bei den letzten 3 Zeilen auf und was kann man daraus schließen?

mY+

11.03.2006, 22:15

Kira 007

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Na ich mache mal schnell weiter

Das das LGS keine Lösungen hat ?
An den letzsten drei gleichungen fällt mir direkt nicht unbedingt was auf

1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 -10 6 = -2
0 0 0 =0

Gruß Kira

11.03.2006, 22:45

mYthos

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Die letzten drei Zeilen sind zueinander proportional (die erste und dritte sind sogar gleich, die zweite ist das Doppelte ..).

Das bedeutet, dass zwei von den (letzten) drei Gleichungen redundant sind (sie sagen dasselbe aus), und daher nicht KEINE, sondern eine unendliche Vielfalt von Lösungstripeln) besteht. Da du vier Gleichungen mit nur 3 Variablen hat, kannst du zunächst die letzte weglassen, weil sie nichts anderes aussagt als die anderen beiden. Im verbliebenen LGS kannst du nun eine Variable beliebig wählen, z.B. setze x_3 = t. Nun sind im Rückwärtsschritt die anderen Variablen zu ermitteln.

mY+

11.03.2006, 23:01

Kira 007

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OK, aber woran erkennst Du das die Gleichungen proportional zu einander sind ?

ist das was ich gerechnet habe dann falsch ?

Gruß Kira

11.03.2006, 23:33

mYthos

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Wer sagt denn, dass jedes LGS entweder keine oder nur eine Lösung haben muss? Es können auch unendlich viele Lösungen auftreten, wie im gegenständlichen Fall.

Einige Gleichungen des Systems sind a priori schon als voneinander abhängig gegeben!
Dies hat beim Vereinfachen der Matrix (bzw. bei der Anwendung des Gauß-Algorithmus) dazu geführt, dass Nullzeilen auftreten. Du hast also (bisher) nicht falsch gerechnet.

Führe doch mal die Rechnung weiter aus (eleganter, weil dann ohne Brüche: $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ = 5t + 3). Im Ergebnis sind dann $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ behaftet, für den du jede beliebige reelle Zahl einsetzen kannst.

mY+

11.03.2006, 23:36

Kira 007

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Da komme ich jetzt nicht weiter, bisher war das kein Problem, bis zu dem sxhritt habe ich alles verstanden, und wie gehts jetzt weiter wo muss ich was einsetzten ?

Gruß Kira

12.03.2006, 00:07

mYthos

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Nach der letzten bei dir richtigen Umformung kannst du nochmals vereinfachen (das Doppelte der 2. Zeile von der dritten subtrahieren):

-->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das entspricht dem System:

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3x_2 - x_3 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -5x_2 + 3x_3 = -1 \end{eqnarray*}$
------------------------------

Jetzt ersetze eine der drei Variablen durch einen Parameter (t) oder einen Ausdruck in diesem, welcher nun wie eine bekannte Größe behandelt wird. Dann bleiben noch zwei Unbekannte (x.., x..), nach denen du mittels der zwei Gleichungen auflösen kannst. Geht's jetzt weiter?

mY+

12.03.2006, 00:27

Kira 007

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1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 -10 6 = -2
0 0 0 =0 ist die dritte zeile schon falsch

und wass beudet genau das t

wie setzte ich das den richtig ein und worin setzte ich ein ?
Gruß Kira

12.03.2006, 01:20

mYthos

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Wieso meinst du partout, dass die dritte Zeile schon falsch ist? WEIL das System aus voneinander abhängigen Gleichungen besteht, DESWEGEN entstehen folgerichtig die Nullzeilen.

Ich habe dir ja das LGS schon hingeschrieben, welches nach der Streichung der Nullzeilen übrig bleibt.

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3x_2 - x_3 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -5x_2 + 3x_3 = -1 \end{eqnarray*}$
------------------------------

Konsequenterweise - in Abänderung von oben - wenden wir darin noch ein Mal den Gauß-Algorithmus an:

1. Gleichg. mal 3, 2. Gleichg. addieren:

$\begin{eqnarray*} 3x_1 + 4x_2 = 11 \end{eqnarray*}$

Das ist die letzte von dem LGS "übrig" gebliebene Gleichung, in der wir jetzt eine der beiden Variablen durch den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (auch eine andere Bezeichnung ist wählbar) ersetzen; das dürfen wir deshalb, weil es 2 Unbekannte, aber nur eine Gleichung dazu gibt:

$\begin{eqnarray*} x_2 = t \end{eqnarray*}$ ; -> $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{11 - 4t}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt bleibt dir nur noch, $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ aus einer der beiden Gleichungen zu ermitteln. $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ wird ebenfalls in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auszudrücken sein.

Als allgemeine Lösung erhalten wir Tripel ( $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ), die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ enthalten. Durch Variation von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (Belegung von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit beliebigen reellen Zahlen) erhalten wir unendlich viele solcher Tripel.

Für $\begin{eqnarray*} t = 2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich z.B. das Tripel ( $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} (1;2;3) \end{eqnarray*}$

P.S.: Eine sehr ausführliche Behandlung (mit Beispielen) aller drei möglichen Lösungsfälle findest du dort

mY+

12.03.2006, 11:22

Kira 007

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Ok danke Mythos
werde mirc das alles einmal in Ruhe anschauen was ist aber mit dieser Zeile,
Den Rest habe ich schon einmal verstanden

0 -10 6 = -2 kann ich die auch dazu nehmen ?

Gruß Kira

12.03.2006, 14:52

mYthos

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Diese Zeile kannst du auch nehmen .. sie ist nämlich das Doppelte der 2. Zeile und sagt damit dasselbe aus.

mY+

12.03.2006, 18:05

Kira 007

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Super dann weiß ich bescheid und werde dann mal üben.

Vielen dank Mythos, wenn ich fragen habe melde ich mich

Gruß Kira

12.03.2006, 18:45

Kira 007

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Hallo

habe mir die Seite mit den Beispielen einmal näher angesehen, dort wird es eigentlich sehr gut erklärt.

1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 -10 6 = -2

Nach den Beispielen müsste ich jetzt ersteinmal die dritte Zeile nach y auflösen das ergibt.

-10y+6z=-2/-6z
-10y=-2-6z

Y= 10/2 +10/65 z

Wären das dann schon mein Ergebnis für die dritte Reihe.

Gruß Kira

12.03.2006, 19:09

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist absolut nicht klar, wie du von

-10y=-2-6z

auf

Y= 10/2 +10/65 z

kommst.

Bemerkung: x, y, z sind identisch zu $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ in deiner Aufgabe.

12.03.2006, 19:49

Kira 007

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Das wurde so erklärt auf der Internetseite, ist aber auch nicht wirklich

Viel wichtiger finde ich das hier

$\begin{eqnarray*} 3x_1 + 4x_2 = 11 \end{eqnarray*}$ wie Du auf die Zeile kommst hab ich verstanden per Gauß

Für $\begin{eqnarray*} t = 2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich z.B. das Tripel ( $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} (1;2;3) \end{eqnarray*}$

wie komme ich aber nun auf die Werte 1,2,3 wenn ich für t = 2 einsetzte

Gruß Kira

12.03.2006, 21:15

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kira 007
...
$\begin{eqnarray*} 3x_1 + 4x_2 = 11 \end{eqnarray*}$ wie Du auf die Zeile kommst hab ich verstanden per Gauß

Für $\begin{eqnarray*} t = 2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich z.B. das Tripel ( $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} (1;2;3) \end{eqnarray*}$

wie komme ich aber nun auf die Werte 1,2,3 wenn ich für t = 2 einsetzte
...

Dazu musst du bereits alle drei Werte (in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ) für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet haben, wie bereits beschrieben:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{-1 + 5t}{3} \end{eqnarray*}$ (wegen $\begin{eqnarray*} x_1 = 4 - 3x_2 + x_3 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x_2 = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = \frac{11 - 4t}{3} \end{eqnarray*}$
---------------------------------

Darin nacheinander jetzt den Wert für t einsetzen.

mY+

12.03.2006, 22:39

Kira 007

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Super vielen Dank Mythos, habs verstanden war gar nicht so schwer

1 3 -1 =4
0 -5 3 =-1
0 -10 6 = -2
0 0 0 =0

könnte ich das theoretisch auch mit meinen Zeilen machen

um den Zusatz Schritt zu Sparen

Gruß Kira

13.03.2006, 18:49

Kira 007

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Vielen Dank den Gauß habe ich verstanden, wegen den Linaren Gleichungssystemen kann ich ja einen neuen Theard eröffnen.

Gruß Kira

14.03.2006, 21:17

Kira 007

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Hi Mythos

ich stelle hier bewusst nocheinmal eine Frage, da mir die Aufgabe bisher nicht so ganz klar war allerdings geht mir mehr und mehr ein Licht auf

und zwar warum multipliziere ich die erste Zeile mal 3 und addiere sie dann mit der Zweiten Zeile.

Damit ich in der ersten Zeile noch eine variable elimieren kann, habe ich das richtig verstanden !!

Und ich nehme an das x2= 2 ist da ich in die anderen Gleichungen für x2 = 2 einsetzte. Heist die Gleichungssysteme sind abhängig von x2= 2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das entspricht dem System:

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3x_2 - x_3 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -5x_2 + 3x_3 = -1 \end{eqnarray*}$
------------------------------

Ich hoffe ich habe das richtig verstanden

Gruß Kira

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