Wurm im Holzwürfel

Neue Frage »

PSM Auf diesen Beitrag antworten »
Wurm im Holzwürfel
Hier eine kleine Knobelaufgabe (entnommen aus "Das Beste aus dem mathematischen Kabinett"):

"Ein großer Holzwürfel ist aus 27 gleichen kleinen Würfeln zusammengesetzt. Ein Holzwurm sitzt auf einer Außenfläche eines kleinen Eckwürfels und frisst sich von da aus durch den gesamten großen Würfel hindurch bis hin zur Mitte. Sein Weg geht
dabei genau einmal durch alle 27 kleinen Würfel hindurch. Der Wurm frisst sich immer nur durch die Mitten der Grenzflächen der kleinen Würfel und nie durch eine Ecke oder Kante. Auch verlässt er zwischendurch den Würfel nicht! Kann der Wurm zum inneren Würfel gelangen?"

Viel Spaß beim Nachdenken.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze, Ja!

//edit: Mist, hab doch noch was übersehen. Arthur hat recht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich "schätze" Nein und hoffe mal für den Rätselsteller, dass das Rätsel nicht schon mal hier im Forum gestellt wurde. Augenzwinkern
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich das Rätsel reingestellt habe, habe ich zwar die Boardsuche bedient, aber eben nichts gefunden.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hey, das ist ja sonst eher ein Rätsel der zweidimensionalen Art (als Schachspieler ist die "Färbung" dabei schnell gemacht), hier muss man ja tatsächlich erst mal nachdenken...

Geht nicht, AD hat (wie meistens) Recht.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

gut, aber man sollte vielleicht auch noch begründen wieso.

Mein Versuch einer Begründung:
Wenn man den inneren Würfel zuletzt erreichen will, so muss man über den mittleren Würfel von einer der sechs Seiten rein. Und dieser mittlere Würfel ist nur über seine vier Nachbarwürfel erreichbar.
Aber zuvor sollte man ja alle anderen Würfelseiten des gr. Würfels durchgefressen haben. Aber es ist nicht möglich eine Würfelseite durchzufressen und am Ende einen der vier Würfel, der in der Mitte einer Würfelseitenkante liegt, zu erreichen. Damit ist auch die Bedingung zum Erreichen des inneren Würfels nicht gegeben.

//edit: habs ein wenig umformuliert, damits verständlicher sein sollte
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt komme ich endlich dazu, zu antworten:

ich finde meine "färbemethode" viel anschaulicher
färbe die würfel "abwechselnd" weiß/schwarz, so dass du immer bei einem zug von weiß nach schwarz ziehst (vergleiche mit einem schachbrett auf dem sich der wurm im 2dimensionaen bewegt) bzw. andersrum
äußere ecke sei schwarz, dann gibt es 14 schwarze klötze, 13 weiße
ein weg über alle muss von schwarz nach schwarz laufen, aber die mitte ist weiß!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begründung von MrPSI ist wenig einleuchtend - vor allem, da es beim 5³ im Gegensatz zum hier vorliegenden 3³ einen solchen Weg gibt!
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Lösung dieses Problems, die auch in dem Buch steht, ist die gleiche wie LOED's.

Die Lösung von MrPSI habe ich ehrlich gesagt nicht ganz verstanden, aber sie hat mich auf die Überlegung gebracht, ob man auf dieses Problem nicht die Graphentheorie anwenden kann, d.h. die Würfel selbst sind Knoten, die sich berührenden Seitenflächen vllt. Kanten...
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch mal meine Begründung besser zu formulieren. (s.o)

aber bei LOED's Lösung hab ich was nicht ganz verstanden:
Zitat:
ein weg über alle muss von schwarz nach schwarz laufen, aber die mitte ist weiß!


wie meinst du das? Kannst du das bitte näher erläutern?

@PSM: ja, man kann den Würfel auch mit graphentheoretischen Mitteln darstellen.
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

@ MrPSI:
Stell's dir erst mal zweidimensional vor: das erste Feld sei schwarz, das zweite weiß, das dritte wieder schwarz, usw. Wenn es eine ungerade Anzahl an Felder gibt, gibt es ein schwarzes Feld mehr, d.h., man endet im schwarzem Feld.
Jetzt übertrage das mal auf den Würfel.

p.s.: danke für die Überarbeitung deiner Erläuterung, ich glaube, ich habe es verstanden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe diese Erläuterung kein bisschen, die hat Löcher ohne Ende.

Jochens Erklärung ist hingegen klar und deutlich.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

@PSM: Danke, jetzt hab ich es auch gepackt. Hab den Zwischenschritt mit den ungeraden Feldern nicht vollzogen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@MrPSI

Was ich an deiner Erklärung nicht verstehe: Mit den "vier Würfeln in der Mitte einer Würfelseitenkante" meinst du eine 3x3-Außenfläche des 3³-Würfels, und da die 4 mit x bezeichneten Teilwürfel, ja?

o x o
x o x
o x o

Aber diese Teilwürfel sind zwei Schritte vom innersten Teilwürfel entfernt, und nicht nur einen, also was soll das? Oder meinst du jeweils den mittelsten Teilwürfel jeder Seite

o o o
o x o
o o o

aber davon gibt es bezogen auf den gesamten 3³ insgesamt 6 solche Würfel, und nicht 4. Also wie gesagt, ich verstehe überhaupt nicht, inwiefern das eine Begründung für die Unmöglichkeit eines Weges sein soll. unglücklich
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich meine mit den "vier Würfeln, die jeweils in der Mitte einer Würfelseitenkante liegen," die Darstellung

o x o
x o x
o x o


Und wenn keiner dieser vier, wenn man gerade die fünfte Würfelseite durchfrisst, erreichbar ist, dann ist es auch der Würfel in der Würfelseitenmitte nicht und somit auch der innere Würfel nicht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso sollen die nicht erreichbar sein - da hab ich noch keine schlüssige Begründung erkannt. Außerdem gibt es keine Vorschrift, die Seiten der Reihe nach zu durchlaufen.

P.S.: Tut mir leid, ich bin nunmal hartnäckig. Und denke an mein Beispiel mit dem 5³, dort gibt es einen Weg zum Zentrum!
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fragerei stört nicht, ich selbst bin ja oft so Big Laugh . Aber sie bringt mich schon an meine Grenzen, die Fragerei. Ich hätte nämlich bei dieser Frage schon bald gesagt "Ist halt so".

Aber stattdessen: http://www.world-of-smilies.com/html/images/smilies/flaggen/fahne24.gif

Als ich deine Frage beantworten wollte, bin ich nochmal mehrere Möglichkeiten durchgegangen und sah mich gezwungen mit der Kompaktheit des Würfels zu argumentieren. Aber da es laut Jochens Lösung auch beim Würfel auch keine Möglichkeit gibt, fällt das Argument ins Wasser.
Damit bestätigt sich wieder mal, dass ich ein mieser Beweisführer bin.

Naja, ein Gutes hat deine Hartnäckigkeit doch: ich hab wieder was dazugelernt. smile
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Damit bestätigt sich wieder mal, dass ich ein mieser Beweisführer bin.

Sei doch nicht so streng mit dir.
Reden lernt man, indem man redet, Beweisen lernt man, indem man beweist.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@mrpsi: wäre doch schrecklich, wenn du mit 17 schon perfekt wärest!

Zitat:
Reden lernt man, indem man redet, Beweisen lernt man, indem man beweist.

und irren lernt man, indem man irrt?

naja, aber zumindest lernt man (mit zubehmendem alter= zunehmender "irrtumssumme"), besser damit umzugehen. verwirrt
werner
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Während dem Schulausflug bin ich dann doch noch auf ne Antwort auf Arthurs Frage gekommen, aber diese fusst auf Jochens Färbemethode. Demnach ist die Begründung nur eine schrecklich komplizierte Variante von Jochens einfacher, anschaulicher Lösung. Hammer

Zitat:
@mrpsi: wäre doch schrecklich, wenn du mit 17 schon perfekt wärest!

ich halte mich da gern an den Spruch "Nobody is perfect", aber ein gewisses Mass an Logik und Kreativität, also die Fähigkeit Beweise führen zu können, sollte man bei einem Matheinteressierten, der Mathematik auch praktizieren will, schon vorraussetzen können, denk ich mal.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »