Umkreis im R2

11.03.2006, 12:44

Grand

Umkreis im R2

Hey,

gegeben ist mir das Dreieck A(3/-6) B(3/2) C(-3/2)

Ich soll den Mittelpunkt des Umkreises bestimmen und nachweisen dass es der umkreis ist (im prinzip ja nur den Abstand zu den punkten bestimmen

So, dafür erstmal die 3 Vektoren AB AC BC bestimmt.

AB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

AC = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

BC = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann die Normalenvektoren für die 3 Vektoren:

nAB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nAc = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nBC = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So für mich ist ne mittelsenkrechte deshalb ne mittelsenkrechte weil sie auf der mitte der seite senkrecht steht.Demnach für AB:

M AB = 1/2 * AB + r* nAB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

M AC = 1/2 * AC + t* nAC = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

M AC = 1/2 * AB + z* nAB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + z * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt 2 der Mittelsenkrechtengleichungen gleichsetzte erhalte ich für r = 3 , das in die gleichung wieder eingesetzt gibt mir den punkt OM = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt aber den abstand zu den Punkten A B und C bestimme erhalte ich nicht den gleichen abstand bei allen 3 punkten.

Wo ist der Fehler? verwirrt

EDIT: Hat jemand vielleicht ne einfacherer Lösung? ^^

Im R3 müsste aber doch die grundüberlegung genauso sein oder? bloß dass der senkrechte vektor teil der Eben sein müsste.Irgendwie müsste man da aber über ne rechtwinklige Ebene drankommen

11.03.2006, 13:09

sqrt(2)

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Du kannst auch einfach in die allgemeine Kreisgleichung

$\begin{eqnarray*} k:~\left(\vec{x}-\vec{m}\right)=r^2 \end{eqnarray*}$

deine drei Punkte einsetzen. Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Das zu lösen (Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren) dürfte schneller gehen, als Mittelsenkrechten schneiden zu lassen.

11.03.2006, 13:16

Grand

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coole idee aber ehm ist das nicht zum quadrat?

11.03.2006, 13:17

sqrt(2)

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Ja, das habe ich vergessen.

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2 \end{eqnarray*}$

11.03.2006, 13:20

Grand

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omk danke vielmals, das praktische fällt mir gerade auf, das gehtauch im r 3 smile

in jedem fall sehr coole lösung, danke

11.03.2006, 13:35

riwe

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so weit ich sehe, liegt der fehler hier:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-6 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

im konkreten fall geht es aber viel, viel einfacher und eigentlich im kopf!
wenn du dir die werte der seiten ein bißerl anschaust, siehst du sofort 6/8/10!!! juhu, das ist ein rechtwinkeliges dreieck mit hypothenuse AC. dann hast du sofort den mittelpunkt des umkreises (thaleskreis) M = (AC)/2 und damit M(0/-2) und
$\begin{eqnarray*} r=\mid \overrightarrow{AM}\mid=\mid \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \mid =5 \end{eqnarray*}$
(noch ein pythagoräer)
(zur kontrolle MC bestimmen).
werner

11.03.2006, 16:15

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Ein Fehler liegt hier und in den folgenden Gleichungen:

Zitat:

Original von Grand
M AB = 1/2 * AB + r* nAB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1/2 * AB ist die Hälfte des Verbindungsvektors zwischen A und B. Was hier eigentlich aber stehen muss, ist der Mittelpunkt der Strecke AB, und das ist 1/2 * (A + B). Und das ist etwas völlig anderes!

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