Bestimmung von 2 orthogonalen Geraden; Vektoren

11.03.2006, 12:50

Painofangels

Bestimmung von 2 orthogonalen Geraden; Vektoren

Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe:

"Bestimmen sie Gleichungen zweier verschiedener Geraden h1 und h2 so, dass die Geraden orthogonal zur Geraden g sind und durch den Punkt P(2|0|1) gehen.
Dann ist noch die Gerade g gegeben.
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie man die beiden geraden bestimmen soll....klar, ich weiß, dass der richtungsvektor von g
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit den gesuchten richtungsvektoren von h1 und h2 orthogonal sein muss, d.h. sie müssen mit der Sakalarmultiplikation null ergeben...aber ich habe doch da viel zu viele Unbekannte - nämlich vom richtungsvektor von h1
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und vom richtungsvektor von h2
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x4 \\ x5 \\ x6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aber wenn ich einen dieser gesuchten richtungsvektoren mit dem gegebenen richtungsvektor aus g
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
multipliziere, bringt mir das nichts, da ich dann lediglich 2x1 -2x2 + x3 = 0 rausbekomme....aber damit kann ich ja nicht weiterrechnen...wenn ich noch eine weitere gerade gegeben hätte, zu der h1 auch noch orthogonal ist, wäre das alles kein problem, dann könnte ich ein LGS erstellen...aber so weiß ich nicht wie ich vorgehen soll...
bitte um hilfe!^^

11.03.2006, 12:58

Grand

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Also, erstmal brauchst du nur den richtungsvektor einer geraden, wenn du eine parallele Gerade über einen anderen OV dazu erzeugst reicht das vollkommen aus, dann hast du nämlich 2 verschiedene Geraden.

Nun zur aufgabe.Mit skalarpordukt kommst du da nicht weiter.
Stell dir vor der RV deiner Geraden wäre ein Normalenvektor einer Ebene.

Damit kommst du an eine lösung.Denn jeder Vektor der nun teil dieser neuen Ebene ist, ist auch ortogonal auf deiner Geraden. (wenn unklar, stift nehmen, blatt nehmen, zusammenhalten ;-)

also einfach den RV deiner geraden als normalenvektor angeben,durch die länge teilen, den punkt der geraden nehmen um das in die Hesse Normalform zu schreiben, ausmultiplizieren, irgendeine variable durch r oder z oder was weiß ich erstezttn, alles auflösen und dann zahlen einsetzen, du erhälst einen VEktor der rechtwinklig auf deiner geraden steht

11.03.2006, 13:04

sqrt(2)

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RE: Bestimmung von 2 orthogonalen Geraden; Vektoren
Das ist unnötig kompliziert.

Zitat:

Original von Painofangels
bringt mir das nichts, da ich dann lediglich 2x1 -2x2 + x3 = 0 rausbekomme....aber damit kann ich ja nicht weiterrechnen...

Es gibt eben unendlich viele Vektoren, die senkrecht zum Richtungsvektor von h stehen und daher auch unendlich viele Geraden, die dabei herauskommen können. Such dir irgendeinen Vektor (außer dem Nullvektor), der die obige Bedingung erfüllt (dazu brauchst du keine Ebenen und ähnliches, einfach für x1 und x2 irgendetwas einsetzen und dann x3 bestimmen) und dann noch einen zweiten solchen, der vom ersten nicht linear abhängig ist. Dann hast du deine beiden Richtungsvektoren.

11.03.2006, 13:04

Painofangels

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Hmmmm eine sehr gute idee, das über Abstand und Normalenvektor zu rechnen...aber das problem ist, dass in dem Buch, aus dem ich diese Aufgabe habe (Lambacher Schweizer "Lineare Algebra mit analyt. Geometrie"), das kapitel mit Normalenvektoren und Hessesche normalenform etc. erst nach dieser Aufgabe kommt....es kann also nicht die "gewollte" lösung sein....aber trotzdem schonmal danke!!^^

11.03.2006, 13:06

Ben Sisko

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Grand, was du sagst ist leider falsch, lies die Aufgabe noch mal. Es sollen zwei verschiedene Geraden durch denselben PÜunkt gehen und orthogonal zu g sein.

Erst einmal nimm für beide Geraden den Punkt P als Stützvektor.
Nun hilft dir auch das Skalarprodukt, aber du setzt eigentlich schon zu allgemein an, painofangels. Es gibt eben viele Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ die zum Richtungsvektor von g orthogonal sind. Du kannst dir also welche aussuchen, also zwei Koordinaten wählen. Einfachheitshalber nimmst man für eine 0, für die zweite 1 und rechnet die dritte dann aus. Für die zweite Gerade setzt man dann eine andere Koordinate gleich 0.

Gruß vom Ben

11.03.2006, 13:10

Painofangels

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Ahh!! Warum bin ich da nicht selbst drauf gekommen!??? Danke für eure Hilfe @ squrt(2) und @Ben

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