Funktion injektiv genau dann wenn surjektiv |
11.03.2006, 21:46 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Funktion injektiv genau dann wenn surjektiv ich bin auf eine Aufgabe gestoßen, die ich scheinbar noch nicht bearbeitet habe. (Muss wohl ganz zu Beginn von LinA I gewesen sein.) Darin steht: und A beschränkt Man soll zeigen das f injektiv surjektiv Also "=>" Sei f injektiv, d.h. Da die Definitionsmenge gleich der Wertemenge ist, also f(A) = A muss deshalb gelten das f surjektiv ist, also . Zumindest ist das anschaulich irgendwie klar, wie kann man es mathematisch genauer aufschreiben ? "<=" Sei f surjektiv (s.o.), wie folgt nun daraus das f injektiv ist ? Warum kann f z.B. nicht parabellförmig sein ? Oder ist das alles falsch ? Bin schon viel zu lange raus aus der Materie |
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11.03.2006, 22:10 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Funktion injektiv genau dann wenn surjektiv Für endliche Mengen A ist das korrekt. Für unendliche A ist das falsch. Z.B.: , f ist injektiv, aber nicht surjektiv; g(1) := g(2) := 1, g(n) := n-1 für n>3 ergibt eine nicht injektive, surjektive Funktion. Grüße Abakus |
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11.03.2006, 22:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
IN ist nicht beschränkt, Abakus! trotzdem stimmt es, dass es nicht richtig ist, wenn nur auf die Beschränktheit gepocht wird.
wenn du nix vergessen hast, kann es das, die Aussage ist dann falsch. |
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11.03.2006, 22:18 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, die Beschränktheit habe ich glatt überlesen. Macht aber keinen Unterschied. Betrachte dann zB: mit entsprechend analogen Funktionen. Grüße Abakus |
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12.03.2006, 12:32 | christian1985 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wir hatten den beweis mal in ner vorlesung geführt, ich könnte ihn dir raussuchen falls es dir weiterhilf! Aber vielleicht bist du ja auch schon allein drauf gekommen. Wir sollten so nen ähnlichen beweis mal auf einem übungsblatt führen, da war allerdings die vorraussetzung das Ker[A] = 0 ist. christian |
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12.03.2006, 12:52 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke erstmal, werde mich wohl beim abschreiben irgendwie vertan haben. Es steht tatsächlich nur da : f: A -> A , A beschr. f surjektiv <=> injektiv Man beweise.... Das war lange bevor wir irgendwas mit Kern gemacht haben, witzigerweise wird die Bedeutung von Injektiv und Surjektiv auch erst ein paar Seiten später erklärt : ) |
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12.03.2006, 16:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also merke dir: das gilt auf endlichen Mengen, da wirst dus auch ohne weiteres brauchen was das ganze mit "kern" zu tun hat sehe ich nicht, von "linearen" Abbildungen steht ja nix bei oder? |
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12.03.2006, 17:26 | Ace Piet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schaue Dir mal die Parabel auf an. A ist beschränkt (und stetig) und wg. f(-1) = f(+1) = 1 und f(0) = -1 ist f surjektiv, aber nicht injektiv, denn jedes hat 2 verschiedene Urbilder , ist also nicht injektiv. Anmerkung: Bei Folgen mit beschränktem Definitionsbereich ist A endlich und in diesem Fall (endl. Def.Bereich) beweist sich injektiv <=> surjektiv nach dem "Briefkastenprinzip"*. ____________ (*) - Verteilt man auf n Briefkästen m > n Briefe, so stecken in einem mind. 2 Briefe. |
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01.11.2006, 12:15 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm hab ne analoge aufgabe... Hat jemand ne Idee wie der Beweis bei dieser hier z.b. geführt wird ? |
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01.11.2006, 13:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du solltest dir den Thread genau durchlesen: So, wie sie da steht, ist die Aussage nämlich falsch - da gibt es also keinen Beweis für die Richtigkeit! |
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01.11.2006, 15:05 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm hmm ok ich probier es nochmal. Meine Aufgabe ist fast identisch es steht drin ich soll zeigen das f genau dann injektiv ist wenn f surjektiv ist. das mein der threatersteller doch mit : Man soll zeigen das f injektiv surjektiv oder nicht ? |
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01.11.2006, 15:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: hmm Ja, aber ohne weitere informationen stimmt das eben nicht. Die e-Funktion ist sicher injektiv auf R, aber auch surjektiv? |
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01.11.2006, 15:18 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: hmm War vielleicht noch vorausgesetzt, dass und linear ist? |
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01.11.2006, 15:32 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nö Nein nicht wirklich also ich schreib mal die Aufgabe auf : Aufgabe : Sei M eine endliche Menge und f: M -> M eine Abbildung. Zeigen sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist. Gilt dies auch, wenn M nicht endlich ist ? (Tipp : Lösung mit Gegenbeispiel) So und nun weiß ich garnicht mehr wie ^^ |
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01.11.2006, 15:37 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: nö Na, da isses doch:
Das ist die wesentliche Zusatzinformation!
Ein passendes Gegenbeispiel hat Abakus oben schon angegeben - hast du wohl überlesen. |
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01.11.2006, 16:20 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
re Also irgendwie weiß ich nicht wo mein Problem ist. Ich probier einfach mal zu beschreiben wie ich das verstehe und hoffe das jmd nachvollziehen kann was mir fehlt Aufgabe : Sei M eine endliche Menge und f: M -> M eine Abbildung. Zeigen sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist. Gilt dies auch, wenn M nicht endlich ist ? (Tipp : Lösung mit Gegenbeispiel) Das verstehe ich so : Ich habe eine endliche Menge M und die wird abgebildet sodass genau die selbe Menge rauskommt(z.b. f:{1,2,3} = {1,2,3}) Nun soll ich zeigen dass f surjektiv ist also das jedem element der Bildmenge mindestens ein ein element der Ausgangsmenge zugeordnet ist. Und wenn das der Fall ist dann ist f injektiv. Aber injektiv bedeutet doch das jedem x mindestens ein y zugeordnet ist ?!?!?! Und um das zu beweisen stelle ich das Gegenbeispiel auf : Ich sage in einer nicht endlich Menge existiert immer ein element sodass f nicht surjektiv sein kann Ohh man also irendwo muss da doch der Wurm sein |
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01.11.2006, 16:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: re
Nein injektiv bedeutet, dass es zu jedem y der Bildmenge genau ein x der Urbildmenge gibt mit f(x) = y |
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01.11.2006, 19:48 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nö da wiederspreche ich aber oder ich hab das falsch verstanden. Wikipedia sagt zur injektivität : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Injektivit%C3%A4t_Mengenwolke.png Also nicht jedes Element der Bildmenge hat ein Element der Wertemenge. Wie zeige ich nun das aus f = surjektiv => f = injektiv ist ? |
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01.11.2006, 20:00 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier ist Y nicht die Bildmenge. Sondern es gilt , d.h. die Bildmenge liegt in Y |
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01.11.2006, 20:02 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nochmal Ich geh einfach mal davon aus das ich 1 Post drüber recht hatte, kann ich den Beweis für aus f = surjektiv folgt f = injektiv so machen : Sei f surjektiv, d.h. . Da Surjektivität besagt, dass jedes Element der Bildmenge getroffen wird und da die Wertemenge = Bildmenge folgt das f = injektiv. Reicht das als Beweis ? Oder muss ich da noch irgendwie mit reinbringen das jedes Element der Bildmenge von verschiedenen Elementen der Wertemenge getroffen werden ? Wenn ja wie drück ich das aus ? ps : Wiki :" f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert." Tigerbine : Oder hast du injektivität definiert für den Fall das Wertemenge = Bildmenge ist ? |
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01.11.2006, 20:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: nochmal Drücke ich mich heute echt so kompliziert aus. Sei Desweiteren bezeichne die Bildmenge der Abbildung f und X die Definitionsmenge surjektiv Im(X) = Y, injektiv Für , dass nennt man auch die Eindeutigkeit des Urbilds. |
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01.11.2006, 20:21 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
arg ok tue mich da immer schwer Direkt verstanden hätte ich : Injektiv = Jedes der getroffenen Elemente der Bildmenge hat genau 1 Element der Urbildmenge. Wie sieht das denn nun oben bei mir aus ? kann ich das so stehen lassen ?
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01.11.2006, 20:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
fast Injektiv = Jedem Elemente der Bildmenge (= getroffenes Element aus dem Zielmenge) ist genau 1 Element der Urbildmenge zugeordnet. So wir hatten jetzt f: M -> M mit |M| endlich Sei f surjektiv. Warum kann jetzt nicht und sein, wenn gilt ? |
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01.11.2006, 21:07 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
re
das meinte er ja ob er das mit reinbringen muss... Wie weiß ich leider nicht. Man kann ja garkeine andere Aussage mehr machen ausser das Bild und Wertemenge gleichmächtig sind. Ach das ist doch zum verzweifeln |
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01.11.2006, 21:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: re Weil dann die Funktion nicht injektiv ist. Und das soll doch aus der surjektivität gefolgert werden. |
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01.11.2006, 21:29 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm ja das is klar das sie dann nicht injektiv ist aber es soll doch anhand von Merkmalen der Surjektivität und der Selbstabbildung von Mengen gefolgert werden. Und da fehlt doch nocht was. Als Begründung würde ja bisher stehen : f : M -> M f sei surjektiv d.h. . Surjektivität besagt, dass jedes Element der Bildmenge getroffen wird und da die Wertemenge = Bildmenge ist, ist f injektiv. Es darf nun nicht und sein, wenn gilt da f sonst nicht injektiv wäre. Also irgendwie macht das noch kein Sinn |
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01.11.2006, 21:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: hm Ihr habt die Injektivität noch nicht bewiesen!!! Ihr habt die Definition der Surjektivität hingeschrieben und wisst dass die Menge endlich ist. Daraus müsst ihr nun folgern, dass gilt: Für Dass kann man z.B. durch einen Widerspruchsbeweis machen, und dazu war und für der ansatz |
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01.11.2006, 21:42 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aso achso ich hatte gedacht man könne es ohne formalen Beweis folgern Schade ^^ |
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01.11.2006, 21:46 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
re nee das das auf nen Beweis hinaus läuft war klar hab probiert was hinzubekommen aber ich hab noch nie Beweise gemacht. In der Schule war sowas nie nötig und jetzt muss man sowas eben ausm ärmel schütteln. Keine ahnung. Vielleicht fällt mir ja was ein wenn ich einfach probiere |
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01.11.2006, 21:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: re Nummeriere doch mal die Elemente von M durch. Sei also |M| = m. Nehmen wir nun mal an, "nur " ein paar fällt aus der Reihe, d.h. es gilt und für Dann hast Du noch m-2 Elemente um auf m-1 Elemente abzubilden. Das schafft man nicht |
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01.11.2006, 22:05 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm Hmm also wäre ein Beweis so : M = {m} Man nehme an : f ist surjektiv und nicht injektiv => f(a)=b und f(c)=b mit =>f : {m ohne a und ohne b} -> {m ohne c} Und hier liegt der Widerspruch, da f nun nicht mehr surjektiv ist wenn c nicht im Bildbereich liegt. Ist das so right ? Wenn ja wie kann ich das etwas formal richtiger ausformulieren ^^ ? |
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01.11.2006, 22:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: re
Da steht eigentlich schon der Beweis. die Eigenschaft einer Funktion ist ja, dass f(a) eindeutig ist. Daraus folgt die Abschätzung (*) Betrachte: |{a,c}| = 2 ---------------- |{f(a),f(c)} = |{b}| = 1 |M\{a,c}| = m-2 ----------- |Im(M\{a,c})| m-2 (*) ______________________________________________________________ |M| = m -------------- |Im(M)| m-1 Damit wäre f nicht surjektiv, also war die Annahme, f nicht injektiv FALSCH |
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01.11.2006, 22:37 | jaxxon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oki Oki das sieht logisch aus. Auf sowas wäre ich nie nie nie nie gekommen. Haben Beweise in den Vorlesungen immer in anderer Form aufgeschrieben. Erst mal auf sowas zu kommen ist schon schwer finde ich ^^ |
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