Funktion injektiv genau dann wenn surjektiv

11.03.2006, 21:46

BraiNFrosT

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Funktion injektiv genau dann wenn surjektiv

HuHu alle,

ich bin auf eine Aufgabe gestoßen, die ich scheinbar noch nicht bearbeitet
habe. (Muss wohl ganz zu Beginn von LinA I gewesen sein.)

Darin steht: $\begin{eqnarray*} f: A \to A \end{eqnarray*}$ und A beschränkt

Man soll zeigen das f injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ surjektiv

Also "=>"
Sei f injektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} a\neq b \Rightarrow f(a)\neq f(b) \end{eqnarray*}$
Da die Definitionsmenge gleich der Wertemenge ist, also
f(A) = A muss deshalb gelten das f surjektiv ist, also
$\begin{eqnarray*} \forall a\in A \ \ \exists b\in A : f(a)=b \end{eqnarray*}$ .
Zumindest ist das anschaulich irgendwie klar, wie kann man es
mathematisch genauer aufschreiben ?

"<="
Sei f surjektiv (s.o.), wie folgt nun daraus das f injektiv ist ?
Warum kann f z.B. nicht parabellförmig sein ?

Oder ist das alles falsch ? Bin schon viel zu lange raus aus der
Materie unglücklich

unglücklich

11.03.2006, 22:10

Abakus

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RE: Funktion injektiv genau dann wenn surjektiv
Für endliche Mengen A ist das korrekt. Für unendliche A ist das falsch.

Z.B.: $\begin{eqnarray*} A = \mathbb N, f(n) := n+1 \end{eqnarray*}$ , f ist injektiv, aber nicht surjektiv;

g(1) := g(2) := 1, g(n) := n-1 für n>3 ergibt eine nicht injektive, surjektive Funktion.

Grüße Abakus smile

smile

11.03.2006, 22:14

JochenX

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IN ist nicht beschränkt, Abakus!

trotzdem stimmt es, dass es nicht richtig ist, wenn nur auf die Beschränktheit gepocht wird.

Zitat:

Warum kann f z.B. nicht parabellförmig sein ?

wenn du nix vergessen hast, kann es das, die Aussage ist dann falsch.

11.03.2006, 22:18

Abakus

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Stimmt, die Beschränktheit habe ich glatt überlesen. Macht aber keinen Unterschied.

Betrachte dann zB: $\begin{eqnarray*} \{\frac{1}{n} : n \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ mit entsprechend analogen Funktionen.

Grüße Abakus smile

smile

12.03.2006, 12:32

christian1985

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wir hatten den beweis mal in ner vorlesung geführt, ich könnte ihn dir raussuchen falls es dir weiterhilf! Aber vielleicht bist du ja auch schon allein drauf gekommen. Wir sollten so nen ähnlichen beweis mal auf einem übungsblatt führen, da war allerdings die vorraussetzung das Ker[A] = 0 ist.

christian

12.03.2006, 12:52

BraiNFrosT

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Danke erstmal,

werde mich wohl beim abschreiben irgendwie vertan haben.
Es steht tatsächlich nur da :
f: A -> A , A beschr.
f surjektiv <=> injektiv
Man beweise....

Das war lange bevor wir irgendwas mit Kern gemacht haben, witzigerweise
wird die Bedeutung von Injektiv und Surjektiv auch erst ein paar Seiten
später erklärt : )

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12.03.2006, 16:41

JochenX

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also merke dir:
das gilt auf endlichen Mengen, da wirst dus auch ohne weiteres brauchen

was das ganze mit "kern" zu tun hat sehe ich nicht, von "linearen" Abbildungen steht ja nix bei oder?

12.03.2006, 17:26

Ace Piet

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Schaue Dir mal die Parabel $\begin{eqnarray*} f: \quad A \to A; \quad f(x) := 2 \cdot x^2 -1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A= [-1; 1] \end{eqnarray*}$ an.

A ist beschränkt (und stetig) und wg. f(-1) = f(+1) = 1 und f(0) = -1 ist f surjektiv, aber nicht injektiv, denn jedes $\begin{eqnarray*} y \in A \setminus \{-1\} \end{eqnarray*}$ hat 2 verschiedene Urbilder $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt( \frac{y+1}{2} ) \end{eqnarray*}$ , ist also nicht injektiv.

Anmerkung: Bei Folgen mit beschränktem Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} A \subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist A endlich und in diesem Fall (endl. Def.Bereich) beweist sich injektiv <=> surjektiv nach dem "Briefkastenprinzip"*.

Wink

Wink

____________

(*) - Verteilt man auf n Briefkästen m > n Briefe, so stecken in einem mind. 2 Briefe.

01.11.2006, 12:15

SilverBullet

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hmm
hab ne analoge aufgabe...
Hat jemand ne Idee wie der Beweis bei dieser hier z.b. geführt wird ?

01.11.2006, 13:45

AD

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Du solltest dir den Thread genau durchlesen: So, wie sie da steht, ist die Aussage nämlich falsch - da gibt es also keinen Beweis für die Richtigkeit!

01.11.2006, 15:05

jaxxon

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hmm
hmm ok ich probier es nochmal.

Meine Aufgabe ist fast identisch es steht drin ich soll zeigen das f genau dann injektiv ist wenn f surjektiv ist.

das mein der threatersteller doch mit :

Man soll zeigen das f injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ surjektiv

oder nicht ?

01.11.2006, 15:09

tigerbine

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RE: hmm
Ja, aber ohne weitere informationen stimmt das eben nicht. Die e-Funktion ist sicher injektiv auf R, aber auch surjektiv?

01.11.2006, 15:18

Dual Space

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RE: hmm
War vielleicht noch vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} \dim(A)<\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear ist?

01.11.2006, 15:32

jaxxon

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nö
Nein nicht wirklich also ich schreib mal die Aufgabe auf :

Aufgabe :

Sei M eine endliche Menge und f: M -> M eine Abbildung. Zeigen sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist.
Gilt dies auch, wenn M nicht endlich ist ?
(Tipp : Lösung mit Gegenbeispiel)

So und nun weiß ich garnicht mehr wie ^^

01.11.2006, 15:37

AD

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RE: nö
Na, da isses doch:

Zitat:

Original von jaxxon
Sei M eine endliche Menge und f: M -> M eine Abbildung. Zeigen sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist.

Das ist die wesentliche Zusatzinformation!

Zitat:

Original von jaxxon
Gilt dies auch, wenn M nicht endlich ist ?
(Tipp : Lösung mit Gegenbeispiel)

Ein passendes Gegenbeispiel hat Abakus oben schon angegeben - hast du wohl überlesen.

01.11.2006, 16:20

jaxxon

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re
Also irgendwie weiß ich nicht wo mein Problem ist.

Ich probier einfach mal zu beschreiben wie ich das verstehe und hoffe das jmd nachvollziehen kann was mir fehlt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aufgabe :

Sei M eine endliche Menge und f: M -> M eine Abbildung. Zeigen sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist.
Gilt dies auch, wenn M nicht endlich ist ?
(Tipp : Lösung mit Gegenbeispiel)

Das verstehe ich so :

Ich habe eine endliche Menge M und die wird abgebildet sodass genau die selbe Menge rauskommt(z.b. f:{1,2,3} = {1,2,3})

Nun soll ich zeigen dass f surjektiv ist also das jedem element der Bildmenge mindestens ein ein element der Ausgangsmenge zugeordnet ist.

Und wenn das der Fall ist dann ist f injektiv.
Aber injektiv bedeutet doch das jedem x mindestens ein y zugeordnet ist ?!?!?!

Und um das zu beweisen stelle ich das Gegenbeispiel auf :

Ich sage in einer nicht endlich Menge

$\begin{eqnarray*} \{\frac{1}{n} : n \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ existiert immer ein element sodass f nicht surjektiv sein kann

Ohh man also irendwo muss da doch der Wurm sein

01.11.2006, 16:22

tigerbine

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RE: re

Zitat:

Original von jaxxon

Aber injektiv bedeutet doch das jedem x mindestens ein y zugeordnet ist

Nein injektiv bedeutet, dass es zu jedem y der Bildmenge genau ein x der Urbildmenge gibt mit f(x) = y

01.11.2006, 19:48

jaxxon

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nö da wiederspreche ich aber oder ich hab das falsch verstanden.
Wikipedia sagt zur injektivität :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Injektivit%C3%A4t_Mengenwolke.png

Also nicht jedes Element der Bildmenge hat ein Element der Wertemenge.
Wie zeige ich nun das aus f = surjektiv => f = injektiv ist ?

01.11.2006, 20:00

tigerbine

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Hier ist Y nicht die Bildmenge. Sondern es gilt $\begin{eqnarray*} Im(X) \subset Y \end{eqnarray*}$ , d.h. die Bildmenge liegt in Y

01.11.2006, 20:02

jaxxon

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nochmal
Ich geh einfach mal davon aus das ich 1 Post drüber recht hatte,

kann ich den Beweis für aus f = surjektiv folgt f = injektiv
so machen :

Sei f surjektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall b \in M \exists a \in M: f(a) =b \end{eqnarray*}$ .
Da Surjektivität besagt, dass jedes Element der Bildmenge getroffen wird und da die Wertemenge = Bildmenge folgt das f = injektiv.

Reicht das als Beweis ?
Oder muss ich da noch irgendwie mit reinbringen das jedes Element der Bildmenge von verschiedenen Elementen der Wertemenge getroffen werden ? Wenn ja wie drück ich das aus ?

ps : Wiki :" f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert."
Tigerbine : Oder hast du injektivität definiert für den Fall das Wertemenge = Bildmenge ist ?

01.11.2006, 20:14

tigerbine

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RE: nochmal
Drücke ich mich heute echt so kompliziert aus. Sei

$\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ Desweiteren bezeichne $\begin{eqnarray*} Im(X) \subseteq Y \end{eqnarray*}$ die Bildmenge der Abbildung f und X die Definitionsmenge

surjektiv

Im(X) = Y,

injektiv

Für $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \in X \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \in Im(X) \end{eqnarray*}$ ,

dass nennt man auch die Eindeutigkeit des Urbilds.

01.11.2006, 20:21

jaxxon

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arg ok

Augenzwinkern

tue mich da immer schwer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Direkt verstanden hätte ich :
Injektiv = Jedes der getroffenen Elemente der Bildmenge hat genau 1 Element der Urbildmenge.

Wie sieht das denn nun oben bei mir aus ? kann ich das so stehen lassen ?

Zitat:

kann ich den Beweis für aus f = surjektiv folgt f = injektiv
so machen :

Sei f surjektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall b \in M \exists a \in M: f(a) =b \end{eqnarray*}$ .
Da Surjektivität besagt, dass jedes Element der Bildmenge getroffen wird und da die Wertemenge = Bildmenge folgt das f = injektiv.

Reicht das als Beweis ?
Oder muss ich da noch irgendwie mit reinbringen das jedes Element der Bildmenge von verschiedenen Elementen der Wertemenge getroffen werden ? Wenn ja wie drück ich das aus ?

01.11.2006, 20:40

tigerbine

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fast

Injektiv = Jedem Elemente der Bildmenge (= getroffenes Element aus dem Zielmenge) ist genau 1 Element der Urbildmenge zugeordnet.

So wir hatten jetzt f: M -> M mit |M| endlich

Sei f surjektiv.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall b \in M \exists a \in M: f(a) =b \end{eqnarray*}$

Warum kann jetzt nicht $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(c) = b \end{eqnarray*}$ sein, wenn gilt $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$ ?

01.11.2006, 21:07

SilverBullet

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re

Zitat:

Warum kann jetzt nicht $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(c) = b \end{eqnarray*}$ sein, wenn gilt $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$ ?

das meinte er ja ob er das mit reinbringen muss... Wie weiß ich leider nicht.
Man kann ja garkeine andere Aussage mehr machen ausser das Bild und Wertemenge gleichmächtig sind. Ach das ist doch zum verzweifeln

01.11.2006, 21:16

tigerbine

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RE: re
Weil dann die Funktion nicht injektiv ist. Und das soll doch aus der surjektivität gefolgert werden.

01.11.2006, 21:29

SilverBullet

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hm
ja das is klar das sie dann nicht injektiv ist aber es soll doch anhand von Merkmalen der Surjektivität und der Selbstabbildung von Mengen gefolgert werden.

Und da fehlt doch nocht was.
Als Begründung würde ja bisher stehen :
f : M -> M
f sei surjektiv d.h. $\begin{eqnarray*} \forall b \in M \exists a \in M: f(a) =b \end{eqnarray*}$ .
Surjektivität besagt, dass jedes Element der Bildmenge getroffen wird und da die Wertemenge = Bildmenge ist, ist f injektiv.
Es darf nun nicht $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(c) = b \end{eqnarray*}$ sein, wenn gilt $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$ da f sonst nicht injektiv wäre.

Also irgendwie macht das noch kein Sinn

01.11.2006, 21:34

tigerbine

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RE: hm
Ihr habt die Injektivität noch nicht bewiesen!!!

Ihr habt die Definition der Surjektivität hingeschrieben und wisst dass die Menge endlich ist.

Daraus müsst ihr nun folgern, dass gilt:

Für $\begin{eqnarray*} a \neq c \in M \Rightarrow f(a) \neq f(c) \in M \end{eqnarray*}$

Dass kann man z.B. durch einen Widerspruchsbeweis machen, und dazu war

$\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(c) = b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$ der ansatz

01.11.2006, 21:42

SilverBullet

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aso
achso ich hatte gedacht man könne es ohne formalen Beweis folgern Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schade ^^

01.11.2006, 21:46

jaxxon

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re
nee das das auf nen Beweis hinaus läuft war klar hab probiert was hinzubekommen aber ich hab noch nie Beweise gemacht. In der Schule war sowas nie nötig und jetzt muss man sowas eben ausm ärmel schütteln. Keine ahnung. Vielleicht fällt mir ja was ein wenn ich einfach probiere

01.11.2006, 21:54

tigerbine

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RE: re
Nummeriere doch mal die Elemente von M durch. Sei also |M| = m. Nehmen wir nun mal an, "nur " ein paar fällt aus der Reihe, d.h. es gilt
$\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(c) = b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$

Dann hast Du noch m-2 Elemente um auf m-1 Elemente abzubilden. Das schafft man nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2006, 22:05

jaxxon

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hm
Hmm also wäre ein Beweis so :

M = {m}
Man nehme an : f ist surjektiv und nicht injektiv

=> f(a)=b und f(c)=b mit $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$
=>f : {m ohne a und ohne b} -> {m ohne c}

Und hier liegt der Widerspruch, da f nun nicht mehr surjektiv ist wenn c nicht im Bildbereich liegt.

Ist das so right ? Wenn ja wie kann ich das etwas formal richtiger ausformulieren ^^ ?

01.11.2006, 22:18

tigerbine

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RE: re

Zitat:

Original von tigerbine
Nummeriere doch mal die Elemente von M durch. Sei also |M| = m. Nehmen wir nun mal an, "nur " ein paar fällt aus der Reihe, d.h. es gilt
$\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(c) = b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \neq c \end{eqnarray*}$

Dann hast Du noch m-2 Elemente um auf m-1 Elemente abzubilden. Das schafft man nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da steht eigentlich schon der Beweis. die Eigenschaft einer Funktion ist ja, dass f(a) eindeutig ist. Daraus folgt die Abschätzung (*) Betrachte:

|{a,c}| = 2 ---------------- |{f(a),f(c)} = |{b}| = 1

|M\{a,c}| = m-2 ----------- |Im(M\{a,c})| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ m-2 (*)

______________________________________________________________

|M| = m -------------- |Im(M)| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ m-1

Damit wäre f nicht surjektiv, also war die Annahme, f nicht injektiv FALSCH

01.11.2006, 22:37

jaxxon

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oki
Oki das sieht logisch aus. Auf sowas wäre ich nie nie nie nie gekommen. Haben Beweise in den Vorlesungen immer in anderer Form aufgeschrieben. Erst mal auf sowas zu kommen ist schon schwer finde ich ^^

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