Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariablen

14.06.2008, 18:10

DerAnfaenger

Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariablen

Hallo,

ich hoffe, dass mir jemand bei meinem Problem weiterhelfen kann. Ich bin grad etwas am verzweifeln. Gegeben ist folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x):

f(x) = c/a*x + c ; -a<x<0
-c/a*x +c ; 0<x<a
0; sonst

mit c = 1/a

und Verteilungsfunktion F(x):
F(x) = 1/2a²*x² + 1/a*x + 1/2 ; -a<x<0
-1/2a²*x² + 1/a*x + 1/2 ; 0<x<a
0; x<-a
1; x> a

Gesucht sind E(x) und Var(x). Ich denke E(x) müsste 0 sein. Aber ich komm da einfach nicht hin.
Kann jemand helfen?

Gruß
DerAnfaenger

14.06.2008, 19:31

Hilfe_96

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Soll denn

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{c}{a}x+c \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} -a < x < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{c}{a}x+c \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} 0 < x < a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , sonst

sein?

Dann ist der Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \int\limits_{-a}^{0}x f(x) dx + \int\limits_{0}^{a} xf(x) dx \end{eqnarray*}$ .

Hier setzt du die jeweiligen Gleichung für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ein.
(Da kommt auch 0 raus)

Und für die Varianz berechnest du am besten erst $\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x) dx \end{eqnarray*}$ . (Genauso wie oben)

Und dann gilt für die Varianz: $\begin{eqnarray*} Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 \end{eqnarray*}$

15.06.2008, 11:17

DerAnfaenger

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Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariablen
Hallo,

vielen Dank für Deine Hilfe.
Ich habe das mal ausprobiert. Ich bekomme dann folgende Ergebnisse heraus:
E(x)= -1/6a + 1/6a --> 0

Meine Frage jetzt: Warum kann das erste Integral im Intervall [-a;0] negativ sein, wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt. Oder muss man Flächenberechnung, wo der Betrag zu nehmen ist, von Berechnung des Erwartungswert trennen?

Vielen Dank schon mal.
Gruß DerAnfaenger

15.06.2008, 11:43

DerAnfaenger

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RE: Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariablen

Zitat:

Original von DerAnfaenger
Hallo,

vielen Dank für Deine Hilfe.
Ich habe das mal ausprobiert. Ich bekomme dann folgende Ergebnisse heraus:
E(x)= -1/6a + 1/6a --> 0

Meine Frage jetzt: Warum kann das erste Integral im Intervall [-a;0] negativ sein, wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt. Oder muss man Flächenberechnung, wo der Betrag zu nehmen ist, von Berechnung des Erwartungswert trennen?

Vielen Dank schon mal.
Gruß DerAnfaenger

-- Hab´s glaub ich. Der Graph ist doch unterhalb der x-Achse. :-)

15.06.2008, 12:22

stochafan

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Das liegt daran, dass du mit $\begin{eqnarray*} x \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ im Integral stehen hast. Also was quadratisches. Und da vor dem Quadrat was nagatives steht...

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