Bestimmung "winkelhalbierender Ebene" (abstandberechung)

12.03.2006, 16:47	Painofangels	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung "winkelhalbierender Ebene" (abstandberechung) Hallo! Ich habe folgende Aufgabe (Bereich: Analytische geometrie; Vektoren im R³): "Punkte, die zu zwei Ebenen den gleichen Abstand haben, liegen auf "winkelhalbierenden" Ebenen. Bestimmen sie die Gleichung dieser winkelhalbierenden Ebene zu: E1: $\begin{eqnarray} [\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ und E2: $\begin{eqnarray} [\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ " beide Ebenen sind also in der Normalenform. Habe mir nun folgendes Überlegt: Wir suchen hier eine Ebene, deren Punkte den gleichen Abstand von E1 und E2 haben....es gibt also unendlich viele solcher Punkte; deshalb können sie in iherer Gesamtheit auch als Ebene geschrieben werden. Meine Vorgehensweise: ich habe nun zunächst beide Ebenen in die Hessesche Normalenform gebracht also in die Form E: $\begin{eqnarray} (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n}0 \end{eqnarray}$ da kommt dann für E1 raus : E1: $\begin{eqnarray} [\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}] \cdot \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ und für E2: $\begin{eqnarray} [\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}] \cdot \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ wenn man nun für $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ den die Koordinaten des allgemeinen Punktes R, der ja zu beiden ebenen den gleichen abstand haben soll einsetzt also: $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ hat man ja die Formel für den Abstand. so...diese habe ich dann mit dem Skalarprodukt ausmultipliziert. d.h. ich habe z.b. für E1: $\begin{eqnarray} [\vec{r} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}] \cdot \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} - \frac{2}{3}(r1 -1) + \frac{2}{3}(r2 -2) + \frac{1}{3}(r3 -1) = d \end{eqnarray}$ raus. dann habe ich ausmultipliziert und vereinfacht, sodass ich dann $\begin{eqnarray} -\frac{2}{3}r1 + \frac{2}{3}r2 + \frac{1}{3}r3 -1 = d \end{eqnarray}$ rausbekomme. das gleiche habe ich dann auch mit der zweiten Ebene E2 gemacht. (da kommt dann etwas ähnliches raus ^^) dann habe ich beide gleichgesetzt und vereinfacht, sodass ich dann am ende $\begin{eqnarray} -\frac{10}{9}r1 + \frac{14}{9}r2 + \frac{4}{9}r3 =\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ das sieht mir jetzt stark nach einer Ebene in der Koordinatenform aus....und jetzt einfach meine Frage: ist das jetzt meine gesuchte Ebene, oder hab ich irgendwo einen Denkfehler im Ansatz gemacht? danke!^^
12.03.2006, 17:05	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig.
12.03.2006, 17:06	Grand	Auf diesen Beitrag antworten »
ich find den ansatz ziemlich gut eigentlich, der dürfte auch stimmen, du machst ja nichts anderes als die menge aller punkte r bestimmen , die von beiden ebenen den gleichen Abstand d haben, insofern müsste das stimmen
12.03.2006, 17:18	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung "winkelhalbierender Ebene" (abstandberechung) so geht das auch: $\begin{eqnarray} \vec{n} =\vec{n}_{10}\pm \vec{n}_{20}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} -4\\ 4\\ 2 \end{pmatrix} \pm\frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das sind die normalvektoren der winkelsymmetralen. und jetzt suchst du dir noch einen punkt auf der schnittgeraden, z.b P(3/0/9) und du hast das gesuchte. dein richtungsvektor stimmt auf jeden fall. der zweite ist (1/1/-1). werner
21.04.2006, 15:48	MAX-NEUSS	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher gewesen wäre die hesseformen gleichsetzen Grüße
21.04.2006, 18:17	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätte man benstenfalls die Schnittgerade bekommen.
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