Funktionsterm gesucht |
| 07.05.2004, 13:32 | Gnu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionsterm gesucht Gesucht ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3. Grades. Er berührt die x - Achse bei x = 3 und hat im Punkt (0/-3) die Tangente mit der Gleichung y = x - 3. Nunja, erstmal den Punkt eingesetzt, dafür erhalten wir d = -3. Jetzt wissen wir dass die Steigung bei für x = 0 1 ist, d.h. erste Ableitung bilden und einsetzen => c = 1. Es steht also bei: f(x) = ax³ + bx² + x - 3 Und jetzt komm ich nicht mehr weiter, ich weiss nicht was ich mit dem x_0 = 3 anfangen kann, ausser vielleicht dass ich noch rausfinden kann dass a/b = 1/3 und entweder a oder b negativ sein müssen. |
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| 07.05.2004, 16:16 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Gnu!
Aus dieser Aussage kannst du nicht nur schließen, dass die Funktion bei 3 eine Nullstelle hat, sondern es ist ein Berührpunkt bzw. eine doppelte Nullstelle. Damit müsstest du die restliche fehlende Information haben, um die Funktion ganz aufzustellen. Gruß Anirahtak |
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| 07.05.2004, 16:41 | Gnu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hoi, dass es eine doppelte NS is war mir klar, und auch was ihre..Eigenart ist, aber ich hatte damit gewissermaßen ein Problem des richtig algebraisch zu interpretieren. Es müsste ja ein lokales Maximum bzw. Minimum darstellen (da hab ich ja leider keine Infos drüber)....fällt mir jetzt so ein.... So, des is wenn ich mich recht entsinne auch die Funktion die in der Schulaufgabe angegeben war als Zwischenergebnis...GRML! Des regt mich jetzt aber auf dass ich da noch net früher draufgekommen bin....naja, besser spät als nie 
Danke Katharina |
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| 07.05.2004, 16:55 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir vielleicht mal ausführlich erklären, wie du auf c = 1 kommst!!?? |
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| 07.05.2004, 16:57 | Fallen_Angel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f'(0)=1 
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| 07.05.2004, 17:02 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
c ist der Koeffizient von x^1 und der steht bei f' dann automatisch als absolutes Glied und weil f'(0) = 1 ist muss c=1 sein 
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| 07.05.2004, 17:04 | Fallen_Angel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um es genauer zu formulieren: Am Punkt (0|-3) soll die Tangentgleichung y=x-3 sein. Deren Steigung ist eins und deshalb muss, weil c absolutes Glied ist, c=1 sein.
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| 07.05.2004, 17:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber wie kommt man denn daurauf, dass bei einer Steigung von 1 bzw. f'(0) = 1 der Koeffizient c = 1 sein muss (Poff, du weißt ja, dass ich Ableitungen noch nicht hatte). Könnt ihr vielleicht genauer erklären, was der Koeffizient c für den Graphen bedeutet, z.B. bei c = 3 hat der Graph die und die Eigenschaft oder sowas?? Danke euch!! |
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| 07.05.2004, 17:59 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Ausgangsfkt die Koeff. hat: a*x³ + b*x² + c*x + d dann hat die 1 Ableitung das c hinten solo vom x losgelöst stehen und all die anderen Glieder fallen doch wegen des Einsetzens von 0 für x als Produkte mit einer Null raus ... folglich bleibt f'(0) = ..... + c = 1 über und damit c=1 ist NULL geheimnisvoll, einfach nur die Null in die Ableitung einsetzen und dann ergibt sich das AUTOMATISCH
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| 07.05.2004, 18:13 | Fallen_Angel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Puh! So ganz ohne Diff.-Rechnung ist das schwer zu erklären.... Machen wir das mal so: Funktionen à la ax³+bx²+cx+d sind ja nix weiter, als Additionen von Funktionen, also ax³ usw. einfach addiert. Wenn man nun eine Tangente an so eine Funktion anlegt, dann hat man (kannst es ja mal bei x² ausprobieren) an der Stelle x eine Tangentensteigung m. cx ist der Linearteil von der ganzen Funktion, also eine lineare Funktion. Die hat als solche eine konstante Steigung, nicht wahr? Legt man nun an jeder Stelle x eine Tangente an,ermittelt die Steigung der Funktion an dieser Stelle (ist gleich der Tangentensteigung) und ordnet dem x diese Steigung der Tangente an der Stelle x zu, erhält man eine ganz neue Funktion. Das ist die Ableitung von f(x). Leitet man cx ab, erhält man c (denn die Steigung von y=3x ist ja auch drei
)Und weil wir wissen, dass bei der Stelle 0 die anderen Teile wegfallen, die auch nach dem Ableiten noch ein x drin haben, wissen wir, dass bei einer Tangentengleichung y=x-3 an der Stelle 0 herauskommt, dass c gleich der Tangentensteigung sein muss, also eins. Kompliziert und ohne allgemeine Gleichung. Die kannst Du Dir mal überlegen, indem Du Dir Funktionen nimmst, an mehreren Stellen Tangenten anlegst und die Steigung als neuen Funktionswert nimmst. Da kommt dann nämlich immer was raus, das ein x weniger hat, so viel sei gesagt.
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| 07.05.2004, 18:58 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x) = a*x³ + b*x² + c*x + d f'(x) = 3*a*x² + 2*b*x + c Nullstellen f' (zugleich Stellen der Extrema) 1/(6*a)*(-2*b + 2*sqrt((b²-3*a*c))) 1/(6*a)*(-2*b - 2*sqrt((b²-3*a*c))) f''(x) = 6*a*x+2*b Nullstelle f'' (zugleich Wendepunkt) -b/3a f'''(x) = 6*a Nullstelle f''' (nix bei 'ner echten kubischen) daraus folgt z.B. Extrema existieren immer dann, wenn a !=! 0 UND b²-3*a*c > 0 und bei b²-3*a*c = 0 gibts Sattelpunkt Wendepunkt existiert auch wegen a !=! 0 .... .... anhand davon kannste schon fast alles durchdiskutieren |
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