Beweis der Injektivität |
| 12.03.2006, 20:55 | [Raven] | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis der Injektivität Ich hab ein großes Problem. Ich habe in einer Klausur von mir folgende Aufgabe stehen: Betrachtet wird die Abbildung f: N -> N definiert durch f(n): = n³ - n, n element aus N. a) Weisen Sie nach, dass f injektiv ist. Bleibt die Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f von N auf N+0 erweitert wird? Hinweis: Zum Nachweis der Injektivität kann die Beachtung der Beziehung x³ - y³ = (x-y)(x²+xy+y²), x,y element R. b)Zeigen Sie, dass für die Wertemenge von f gilt f(N) [echte Schnittmenge] {6m | m element N+0}. Hinweis: Faktorisieren Sie f. Ok, die Frage mit N+0 ist schnell beantwortet: Nein, da f(0) = 0 und f(1) = 0 ! Der Rest allerdings bereitet mir Kopfschmerzen. Ich hatte folgende Idee: x = n y = f(n) = n³ - n Danach setzte ich diese Werte in den gegebenen Hinweis ein: für die linke Seite: n³ - (n³-n)³ für die rechte Seite: (n-(n³-n))*(n² + n*(n³-n) + (n³-n)²) Danach versuchte ich diese Werte so umzuformen, dass sie überein stimmen. Dies will mir aber nicht gelingen. Ich würde mich sehr über euere Hilfe freuen. Grüße aus Konstanz |
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| 12.03.2006, 21:45 | [Raven] | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hat sich erledigt :-) Danke trotzdem ! |
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| 12.03.2006, 21:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei a) würde ich im Gegensatz zur Empfehlung auf das streng monotone Wachsen hinarbeiten: Diese Ungleichung kann durch äquivalentes Umformen leicht nachgewiesen werden. Und dann ist die Injektivität eine unmittelbare Folge. Und bei b) beachte die Zerlegung . Die zeigt eigentlich alles. |
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