Mengen/Aussagenlogik

13.03.2006, 04:18

ArminTempsarian

Mengen/Aussagenlogik

Guten Tag allseits (vor allem die Logiker unter euch),

es tut mir leid euch schon wieder behelligen zu müssen, wird in Zukunft vermutlich öfter vorkommen, aber ich schmeiß schon wieder mal beinah die Nerven weg. Wir sollen zeigen, dass

B Teilmenge von A $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ B vereinigt A = A

Ich hab das mal in aussagenlogische Form gebracht, was dann so aussieht:

(P $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Q) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (P oder Q) äquivalent Q

(Man kann offenbar statt des 1. Pfeils auch einen Doppelpfeil (Äquivalenz) nehmen.)

Es ist uns zwar beschieden worden, dass wir solche Beweise auch mit Mengentafeln (Wahrheitstafeln) machen können, aber mich würds doch interessieren, wie mans ohne macht.

Wäre für jeden Tip dankbar.

13.03.2006, 04:36

JochenX

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willst dus nicht lieber mit einer doppelten Inklusion machen?

zu zeigen ist dann:
(B vereinigt A) TEILMENGE A (zu zeigen!)
A TEILMENGE (B vereinigt A), das folgt direkt nach Definition

was P und Q sind, musst du uns erst mal sagen

13.03.2006, 14:23

ArminTempsarian

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Wir sollen doch für Beweise von Mengenaussagen, diese in aussagenlogische Form bringen. Wenn ich also z.B. eines der Distributivgesetze beweisen will, wird aus

A vereinigt (B geschnitten C)

$\begin{eqnarray*} x\in A oder (x\in B und x\in C) \end{eqnarray*}$

was nach aussagenlogischer Umformung

$\begin{eqnarray*} (x\in A oder x\in B) und (x\in A oder x\in C) \end{eqnarray*}$
ergibt,weil für Aussagen das Distributivgesetz schon bewiesen ist; und das ist laut Definition

(A vereinigt B) geschnitten (A vereinigt C)

Ich wollts hier einfach analog machen. Ich weiß nur nicht, welche aussagenlogischen Manipulationen ich durchzuführen habe, um vn

P Pfeil Q
auf
(P oder Q) äquivalent Q

zu kommen.

P und Q sind einfach Aussagen (boolsche konstanten). Hab P und Q genommen, damit man diese aussagen nicht mit den Mengen verwechselt. wollte mir einfach nur das ständige "ist element von" ersparen.

13.03.2006, 15:10

JochenX

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Zitat:

wollte mir einfach nur das ständige "ist element von" ersparen.

erspars dir lieber nicht...
mehr Schreibaufwand ist es nicht, aber in der Form "x in A" wird es viek übersichtlicher als "P".
wobei du P und Q immer noch nicht deklariert hast Augenzwinkern

13.03.2006, 15:28

ArminTempsarian

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OK Hier also die vollständige Version:

$\begin{eqnarray*} (x\in B \Rightarrow x\in A) \Rightarrow ((x\in B oder x\in A) gdw. x\in A) \end{eqnarray*}$

wobei, wie bereits erwähnt, statt der 2. Implikation auch eine Äquivalenz stehen könnte (ich denke doch?!) und das gdw. eine Äquivalenz bezeichnet.

Aus dem Ausdruck vor der zweiten Implikation muss also irgendwie durch aussagenlogische Umformungen, der Ausdruck danach gefolgert werden können. Die Frage ist nur, wie?!

13.03.2006, 15:33

JochenX

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ja, so ists schöner Augenzwinkern

Die "gdw"-Sache ist zu zeigen
"<=" ist klar, oder?
"=>" mach doch einfach die Fallunterscheidung

richtig ist: x in A oder x in B
Fall1: x in A => x in A JA!
Fall2: x in B =>x in A JA, steht vorne!

fertig!

13.03.2006, 16:37

ArminTempsarian

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Ich Ar***
OK, auf Fallunterscheidung wär ich jetzt nicht gekommen. Ich hab mich da wohl in etwas verrannt. Danke für die Erleuchtung, die du mir beschert hast.

13.03.2006, 20:44

irre.flexiv

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Du kannst auch nen Indirekten Beweis machen.

Angenommen $\begin{eqnarray*} B \cup A \not = A \end{eqnarray*}$

Dann gibts nen $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \not \in A \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt $\begin{eqnarray*} B \not \subseteq A \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

14.03.2006, 18:15

Frooke

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Wenn Du schon $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ benutzt, kannst Du auch $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ anstelle von gdw. benutzen smile

.

«Und» und «oder» machst Du mit «\wedge»: $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ und «\vee»: $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$

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